La circonferenza nel piano cartesiano è un importante concetto geometrico. Si tratta del luogo geometrico dei punti del piano che sono equidistanti da un punto fisso, noto come centro della circonferenza. In altre parole, la distanza tra qualsiasi punto della circonferenza e il centro è sempre la stessa.
L’equazione che descrive una circonferenza nel piano cartesiano è:
(x – xC)2 + (y – yC)2 = r2
Dove (xC, yC) rappresenta le coordinate del centro della circonferenza e r è il raggio.
È importante sottolineare che una circonferenza è un caso particolare di una conica non degenere.
Tuttavia, è necessario distinguere la circonferenza dalle altre formule geometriche associate al cerchio e alla circonferenza, come l’area e il perimetro. In questa lezione di Geometria piana, ci concentriamo specificamente sulla circonferenza nel piano cartesiano.
Nel seguito, elencheremo e commenteremo le formule relative alla circonferenza in Geometria Analitica. Esploreremo le diverse forme che l’equazione della circonferenza può assumere, oltre alle formule per il calcolo delle coordinate del centro e del raggio.
Definizione di Circonferenza
La circonferenza è definita come il luogo geometrico dei punti P nel piano che sono equidistanti da un punto C, noto come centro della circonferenza. La distanza tra qualsiasi punto della circonferenza e il centro è chiamata raggio (r).
Definizione di Cerchio
Un cerchio, a sua volta, è la regione dei punti nel piano che si trovano all’interno della circonferenza. In altre parole, è l’insieme di tutti i punti che soddisfano la condizione di equidistanza dal centro.
La comprensione e l’applicazione delle formule della circonferenza nel piano cartesiano sono fondamentali per comprendere e risolvere problemi geometrici più complessi. Assicuratevi di avere ben chiare queste definizioni e formule per affrontare con successo l’argomento.
Circonferenza: Formule e Equazioni
Le formule per la circonferenza nel piano cartesiano riprendono ed ampliano le formule per cerchio e circonferenza già note dallo studio della Geometria Euclidea. Comprendere queste formule è fondamentale per risolvere agevolmente gli esercizi e i problemi di Geometria analitica.
Formule della Circonferenza
ChiamiamoC = (xC,yC)il centro della circonferenza eril raggio della circonferenza, ossia la distanza comune di tutti i punti della circonferenza dal centro.
Equazione della circonferenza noti centro e raggio
Conoscendo le coordinateC = (xC,yC)del centro della circonferenza e la misurardel raggio, è possibile esprimere l’equazione della circonferenza nella forma:
(x – xC)2+ (y – yC)2= r2
Come possiamo notare, si tratta di un’equazione quadratica (di grado 2) in due incognite x e y. La logica dell’equazione rispecchia la consueta condizione di appartenenza: un punto (x, y) appartiene alla circonferenza se e solo se le sue coordinate cartesiane soddisfano l’ equazione della circonferenza .
Tale formula nel caso di una circonferenza con centro nell’origine degli assiO = (0,0) e raggio rsi riduce a:
x2+ y2= r2
Per chi si stesse domandando come si ricava l’equazione, la dimostrazione è piuttosto semplice. Potete leggerla qui insieme ad alcuni esempi: equazione della circonferenza .
Equazione canonica della circonferenza
L’ equazione canonica della circonferenza è un’equazione quadratica in due incognitexey, espressa in forma implicita. Il suo secondo membro è uguale a zero, mentre il primo membro è un polinomio di secondo grado con le indeterminatexey, e i coefficienti numerici α, β, e γ.
Relazioni e formule di passaggio tra le equazioni della circonferenza
L’equazione della circonferenza , nota il centro e il raggio, è la forma più immediata e semplice da scrivere. Tuttavia, presuppone che si conoscano le coordinate cartesiane del centro e la misura del raggio. Spesso, nei problemi, ci troveremo di fronte a un’equazione in forma implicita e dovremo utilizzarla per dedurre le caratteristiche geometriche della circonferenza assegnata.
Le relazioni tra le due equazioni possono essere ottenute utilizzando la regola per il quadrato del binomio nella prima forma:
(x-xC)2+ (y-yC)2= r2
x2- 2xCx + xC2+ y2- 2yCy + yC2- r2= 0
x2+ y2- 2xCx – 2yCy + xC2+ yC2- r2= 0
Poi, confrontando i coefficienti con la seconda forma:
x2+ y2+ αx + βy + γ = 0
è possibile ricavare i valori dei coefficienti.
Calcolo del centro e del raggio
D’altra parte, partendo dall’equazion e del la circonferenza nella forma canonica, è possibile calcolare le coordinate del centro e la misura del raggio utilizzando le seguenti formule:
Coordinat e del centro:
xC= -α/2
yC= -β/2
Misura del raggio :
r = √(xC2+ yC2- γ)
È sufficiente invertire opportunamente le relazioni appena fornite.
Un’alternativa, sebbene un po’ complessa, per passare dall’equazione canonica all’equazione nota il centro e la misura del raggio consiste nell’applicare il metodo del completamento dei quadrati.
Approfondimento sul Centro e il Raggio di una Circonferenza
Se desiderate approfondir e il discorso sulla circonferenza e vedere degli esempi specifici, vi consigliamo di leggere ulteriori informazioni sul centro e il raggio della circonferenza. Per maggiori dettagli, continuate la lettura. 🙂
Raggio conoscendo il centro e un punto della circonferenza
Quando siamo in possesso delle coordinate del centro C = (xC, yC) e di un punto P = (xP, yP) che appartiene alla circonferenza, è possibile calcolare facilmente la misura del raggio. Per fare ciò, basta applicare la formula per la distanza tra due punti.
Rappresentazione di un cerchio nel piano cartesiano
Per descrivere un cerchio nel piano cartesiano , è sufficiente conoscere l’equazione della circonferenza che lo delimita. Ad esempio, se abbiamo un cerchio con l’equazione (x – xC)^2 + (y – yC)^2 = r^2, possiamo individuare tutti e soli i punti interni alla circonferenza scrivendo la seguente disequazione:
(x – xC)^2 + (y – yC)^2 ≤ r^2
Se l’equazione è in forma canonica, ossia x^2 + y^2 + αx + βy + γ = 0, la disequazione da scrivere sarà:
x^2 + y^2 + αx + βy + γ > 0
Per individuare la regione dei punti esterni alla circonferenza, si dovrebbe invece scrivere una delle seguenti disequazioni:
(x – xC)^2 + (y – yC)^2 > r^2
x^2 + y^2 + αx + βy + γ < 0
Se siete interessati a esplorare ulteriormente la rappresentazione delle figure piane attraverso le disequazioni a due incognite, potete farlo qui:rappresentare le soluzioni di un a disequazione nel piano. 😉
Circonferenza passante per tre punti non allineati
Esistono essenzialmente due modi per individuare in modo univoco una circonferenza nel piano cartesiano. Il primo metodo prevede di conoscere le coordinate del centro e la misura del raggio. Il secondo metodo si basa su un noto teorema della Geometria Euclidea che stabilisce come per tre punti non allineati passi una ed una sola circonferenza.
La circonferenza passante per tre punti
Quando si dispongono delle coordinate cartesiane di tre punti non allineati, cioè tali da non giacere su una stessa retta, è sempre possibile trovare l’unica circonferenza che attraversa questi punti. Un utile strumento per questo scopo è il “circonferenza per tre punti online”.
Posizioni di una retta rispetto a una circonferenza
Nel formulario successivo analizzeremo nel dettaglio le possibili posizioni di una retta rispetto a una circonferenza sia da un punto di vista geometrico che analitico.
Equazione della retta tangente ad una circonferenza in un punto
Per calcolare l’ equazione della retta tangente ad una circonferenza in un punto specifico, possiamo utilizzare una formula apposita chiamata “formula di sdoppiamento”.
Data una circonferenza con un’equazione del tipo x^2+y^2+α x+β y+γ = 0, la retta tangente ad essa nel punto P = (x_P,y_P) ha l’equazione:
***inserisci qui l’ equazione della retta tangente ***
Tuttavia, sconsigliamo di memorizzare questa formula a memoria. È molto più conveniente imparare il metodo per ricavare le formule di sdoppiamento e utilizzarlo quando necessario negli esercizi.
Asse centrale di due circonferenze
Dato un insieme di due circonferenze , l’asse centrale è definito come la retta che passa attraverso i loro centri, indipendentemente dalla loro posizione reciproca.
Asse radicale di due circonferenze
Quando due circonferenze si intersecano in due punti, si definisce asse radicale la retta che passa attraverso questi due punti di intersezione. In questo caso, l’asse radicale è una retta che taglia le due circonferenze e che è perpendicolare all’asse centrale.
Equazioni delle circonferenze e l’asse radicale
Le equazioni delle due circonferenze possono essere utilizzate per determinare l’equazione dell’asse radicale. Nel caso limite di due circonferenze tangenti, l’asse radicale si riduce alla retta perpendicolare all’asse centrale e passante per il punto di tangenza. Questa retta risulta essere tangente ad entrambe le circonferenze.
Tuttavia, per qualsiasi altra posizione tra le due circonferenze, l’asse radicale non esiste. È quindi importante comprendere le specifiche posizioni relative delle circonferenze per determinare se l’asse radicale è presente o meno.
Allenarsi con gli esercizi svolti
Per acquisire familiarità con le formule delle circonferenze nel piano cartesiano, è altamente consigliato allenarsi con gli esercizi svolti correlati. Questi esercizi vi aiuteranno a comprendere e applicare correttamente le formule durante il vostro percorso di studio.
Un’utile lettura per disegnare la circonferenza a mano libera
Se avete difficoltà a disegnare la circonferenza a mano libera , vi segnaliamo una lettura utile che vi fornirà consigli e tecniche per migliorare le vostre abilità nel disegno di circonferenze.
Per ulteriori dubbi, domande o problemi risolti, vi raccomandiamo di utilizzare la barra di ricerca interna e di servirvi del tool online per lo studio delle circonferenze. Questi strumenti possono essere di grande aiuto per ottenere risposte rapide e approfondimenti durante il vostro percorso di apprendimento.
