Il coefficiente angolare di una retta è un valore numerico, comunemente indicato con m, che rappresenta la pendenza della retta rispetto all’asse x (o qualsiasi retta orizzontale) ed è direttamente incluso nell’equazione esplicita y = mx + q. Prima di comprendere l’analisi della relazione tra il coefficiente angolare di una retta e l’angolo che la retta forma con l’asse x, vale a dire come il coefficiente angolare misura la pendenza della retta, esamineremo le formule per calcolarlo utilizzando diverse possibili equazioni di una retta.
Pendenza di una retta
Per misurare la pendenza di una retta , possiamo considerare tre punti che le appartengono. Chiamiamo questi punti P0, P1e P2. Indipendentemente dalla scelta dei punti, si osserva che il rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse è costante:
(y2 – y1) / (x2 – x1) = (y1 – y0) / (x1 – x0) = costante
Dove, per comodità, abbiamo posizionato il punto P0sull’asse delle ascisse. La costanza di tale rapporto può essere dimostrata considerando i due triangoli rettangoli in figura. Applicando i teoremi sugli angoli formati da rette parallele tagliate da una trasversale, possiamo applicare il criterio di similitudine per triangoli con angoli congruenti.
Essendo i due triangoli simili tra loro, ne consegue che i lati corrispondenti sono proporzionali. Pertanto, otteniamo:
(y2 – y1) / (y1 – y0) = (x2 – x1) / (x1 – x0)
Da cui:
(y2 – y1) / (x2 – x1) = (y1 – y0) / (x1 – x0)
Abbiamo così dimostrato che, per qualsiasi coppia di punti P1= (x1, y1) e P2= (x2, y2) appartenenti ad una retta, con x2> x1, il rapporto (y2- y1) / (x2- x1) è costante. In altre parole:
(y2 – y1) / (x2 – x1) = costante per ogni x2 > x1, P1, P2 ∈ r
Inoltre, possiamo anche invertire l’ordine dei punti raccogliendo un segno meno sia al numeratore che al denominatore, e il rapporto rimane invariato.
Pendenza e Coefficiente Angolare della Rettta
La pendenza di una retta, anche chiamata inclinazione, può essere misurata utilizzando il concetto di coefficiente angolare . Questa proprietà ci permette di comprendere come l’inclinazione di una retta possa essere determinata in base all’asse delle x o, in modo equivalente, rispetto a qualsiasi retta orizzontale.
È importante notare che il coefficiente angolare non è definito per le rette verticali, poiché in questo caso le coordinate x_1 e x_2 sono sempre uguali.
Coefficiente Angolare e Pendenza della Rettta: Angolo di Inclinazione
La definizione del coefficiente angolare che abbiamo appena fornito è quella che di solito viene presentata al terzo anno delle scuole superiori. Tuttavia, per coloro che hanno già studiato Trigonometria, esiste una definizione equivalente del coefficiente angolare, che risulta essere più immediata e intuitiva dal punto di vista geometrico.
Per comprendere come il coefficiente angolare misura l’inclinazione di una retta, consideriamo l’angolo α formato dalla retta rispetto all’asse delle ascisse, o equivalentemente l’angolo che la retta forma con qualsiasi orizzontale. Possiamo definire il coefficiente angolare in base all’angolo formato rispetto a una qualsiasi retta orizzontale. In altre parole, il coefficiente angolare è la tangente dell’angolo α.
È importante notare che questa relazione si applica all’angolo acuto che la retta forma con qualsiasi retta orizzontale, e che la sua ampiezza rimane costante.
Coefficiente Angolare: Concetto e Utilizzo
Il coefficiente angolare di una retta è un parametro importante nello studio della geometria analitica. Esso fornisce informazioni sulle proprietà di una retta rispetto all’asse delle ascisse e permette di determinare l’angolo che la retta forma con l’asse x.
Coefficiente Angolare Positivo e Negativo
Il coefficiente angolare è negativo quando la retta taglia l’orizzontale con ordinate decrescenti. In questo caso, l’angolo ottenuto giace al di sotto della retta orizzontale ed è misurato in senso orario.
Al contrario, se la retta taglia l’orizzontale con ordinate crescenti, il coefficiente angolare è positivo. L’angolo ottenuto giace al di sopra della retta orizzontale ed è misurato in senso antiorario.
È importante notare che il coefficiente angolare è nullo per qualsiasi retta orizzontale.
Retta Verticale e Angolo α = 90°
Il caso in cui α = 90° non è contemplato dalla formula del coefficiente angolare. Questo caso individua semplicemente le rette verticali, per le quali il coefficiente angolare non è definito. Come sappiamo, le rette verticali sono quelle che hanno un’equazione nella forma x = k, dove k è una costante.
Formula Inversa per Calcolare l’Angolo
Per calcolare l’angolo α a partire dal coefficiente angolare di una retta, si utilizza la funzione arcotangente. Se consideriamo una retta parallela all’asse delle ascisse (equazione della forma y = k), otteniamo α = 0. Per qualsiasi altra retta che non sia né verticale né orizzontale, è possibile ricavare l’angolo acuto formato con l’asse delle ascisse.
Esempi di Coefficiente Angolare
Ecco due esempi che illustrano l’utilizzo del coefficiente angolare :
- Esempio 1: La bisettrice del primo-terzo quadrante, rappresentata dall’equazione y = x, ha un coefficiente angolare m = 1. L’angolo α che essa forma con l’asse x è pari a 45°.
- Esempio 2: La bisettrice del secondo-quarto quadrante, rappresentata dall’equazione y = -x, ha un coefficiente angolare negativo m = -1. L’angolo α che essa forma con l’asse delle ascisse è pari a -45°.
Segno meno e angoli nel semipiano delle ordinate positive
Il segno meno (-) indica che l’angolo viene percorso in senso orario. Per determinare l’angolo che la retta individua nel semipiano delle ordinate positive, osserviamo che è l’angolo supplementare di α, cioè 180° – α = 45° = 135°.
Coefficiente angolare della retta y = -4
La retta y = -4 ha un coefficiente angolare nullo.
Coefficiente angolare della retta 2x + y + 1 = 0
La retta 2x + y + 1 = 0 ha un coefficiente angolare m = -2 e forma un angolo non notevole con l’asse x, misurato in senso orario.
Coefficiente angolare di una retta passante per due punti
La prima definizione che abbiamo fornito ha una valenza pratica oltre che teorica. Conoscendo le coordinate di due punti appartenenti ad una retta, (x1, y1) e (x2, y2), possiamo calcolare il coefficiente angolare della retta passante per i due punti con la seguente formula:
Se x1 = x2, allora abbiamo a che fare con una retta verticale e il coefficiente angolare della retta non è definito. L’equazione della retta in questo caso è x = x1.
Altre formule che coinvolgono il coefficiente angolare
Nei formulari successivi, apprezzeremo l’utilità pratica del coefficiente angolare studiando alcune formule che lo coinvolgono direttamente. Tra queste:
- Le relazioni per le rette parallele e perpendicolari
- La formula della retta passante per un punto noto il coefficiente angolare
- L’equazione di un fascio proprio di rette
Le formule del coefficiente angolare che abbiamo commentato in questo formulario sono riproposte, insieme a diverse altre e a una scheda di esercizi svolti, nel formulario sulla retta.
