DISEQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO

Le disequazioni con valori assoluti sono disequazioni in cui l’incognita compare in almeno un valore assoluto. Per risolverle, è necessario scomporle come unioni di sistemi di disequazioni, imponendo le condizioni per eliminare i moduli e attribuire agli argomenti il segno corretto.

Le disequazioni con valore assoluto, o quelle in cui sono presenti due o più valori assoluti, possono essere percepite come tra le più impegnative dagli studenti delle scuole superiori, dopo le disequazioni goniometriche. Tuttavia, in realtà, si tratta solo di comprendere il concetto di fondo e di svolgere gli esercizi in modo ordinato.

In questa lezione, vi mostreremo il procedimento risolutivo, spiegando nel dettaglio la logica che ne sta alla base, del tutto analoga a quella per le equazioni con i moduli. L’obiettivo principale è evitare di imparare regole mnemoniche e comprendere il come e il perché. In questo modo, sarete in grado di affrontare i problemi utilizzando il puro ragionamento, accompagnato, naturalmente, da qualche calcolo.

Prima di iniziare con gli esercizi, è opportuno dedicare qualche istante a parlare del valore assoluto. Conoscere il suo significato e come può essere utilizzato rappresenta già metà del lavoro. La scrittura |x| ha un significato ben preciso. In accordo con la definizione, al variare dei possibili valori di x, il valore assoluto |x| è sempre un numero positivo o nullo, e in particolare, è nullo solo se x = 0.

Significato della definizione di valore assoluto

Il valore assoluto di un numero x è definito come:

• Se x è un valore positivo o nullo, il valore assoluto |x| equivale a x.
• Se x è un valore negativo, il valore assoluto |x| equivale a -x (poiché lo trasforma nel corrispondente valore positivo).

Il significato di questa definizione di venterà chiaro durante questa lezione sulla risoluzione delle disequazioni con valore assoluto. La risoluzione di tali disequazioni si riduce fondamentalmente a riscrivere la disequazione in una forma equivalente. Il metodo prevede di eliminare i valori assoluti sotto opportune condizioni e attribuire il giusto segno all’argomento.

Risoluzione delle disequazioni con valore assoluto

Per risolvere una disequazione con valore assoluto , seguiamo i seguenti passaggi:

1. Imporre la condizione sul segno dell’argomento del valore assoluto.
2. Riscrivere la disequazione eliminando il valore assoluto e attribuendo il giusto segno all’argomento.
3. Mettere a sistema la condizione e la disequazione.

Poiché le condizioni sul segno dell’argomento del valore assoluto possono essere di due tipi (≥, <), otterremo due sistemi di disequazioni. In quanto entrambe le condizioni sono valide, dovremo considerare l’unione tra le soluzioni dei due sistemi.

Lo stesso ragionamento si applica anche quando l’argomento del valore assoluto è un’espressione f(x) che contiene l’incognita x.

Risolvere i tipi di disequazioni con valore assoluto

Esistono tre tipi di disequazioni con valore assoluto che possiamo affrontare:

Disequazioni elementari con un valore assoluto

Queste disequazioni sono nella forma:

|ax + b| < c

|ax + b| ≤ c

|ax + b| > c

|ax + b| ≥ c

Disequazioni non elementari con un valore assoluto

Queste disequazioni assumono la forma:

|f(x)| < g(x)

|f(x)| ≤ g(x)

|f(x)| > g(x)

|f(x)| ≥ g(x)

Disequazioni con due o più valori assoluti

In queste disequazioni, l’argomento contiene due o più valori assoluti . Un esempio di tale forma è:

|ax + b| + |cx + d| < e

Seguendo i passaggi appropriati, possiamo risolvere ciascuno di questi tipi di disequazioni con valore assoluto.

Disequazioni con Valore Assoluto

A proposito: in questo articolo non tratteremo le disequazioni con termini “particolari” come i logaritmi o le funzioni trigonometriche. Ci concentreremo esclusivamente sul metodo risolutivo inerente ai valori assoluti senza ulteriori complicazioni. Le lezioni successive affronteranno la risoluzione di disequazioni con la regola dei segni, disequazioni miste e disequazioni non risolvibili algebricamente.

Disequazioni elementari con valore assoluto

Le disequazioni elementari con valore assoluto si presentano nella forma:

|f(x)| ≥ c

dove c è un numero reale.

La prima cosa da fare è imporre le eventuali condizioni di esistenza relative all’espressionef(x)e tenerne conto quando avremo ricavato le soluzioni della disequazione.

Poiché il valore assoluto |f(x)| è per definizione una quantità positiva sef(x) ≠ 0e zero sef(x) = 0, a seconda del segno di c, la disequazione potrebbe essere banale.

Casi possibili:

Simbolo di disequazione	Segno di c	Soluzioni
≥	c > 0	Da analizzare
≥	c = 0	∀ x ≥ c
>	c > 0	Da analizzare
>	c = 0	∀ x – x t.c. f(x) = 0
>	c < 0	∀ x ≤ c
≤	c = 0	x t.c. f(x) = 0
≤	c < 0	not ∃ x < c
<	c = 0	not ∃ x < c
<	c < 0	not ∃ x

L’unico caso interessante si ha quando c > 0, perché in tutte le altre eventualità si ottiene una disequazione immediata o un’equazione.

La Risoluzione delle Disequazioni con Valore Assoluto

Indipendentemente dal simbolo presente nella disequazione, la sua risoluzione può essere scomposta in due sistemi di disequazioni. Per eliminare il valore assoluto , seguiamo i seguenti passaggi:

Caso: c > 0 e simbolo < (oppure ≤)

Riscriviamo l’unione dei due sistemi risolutivi:

• f(x) ≥ 0; f(x) < c
• f(x) < 0; -f(x) < c

La seconda disequazione del secondo sistema può essere scritta come f(x) > -c. Pertanto, otteniamo i seguenti sistemi di disequazioni:

• 0 ≤ f(x) < c ∨ -c < f(x) < 0
• -c < f(x) < c

Trasformando la doppia disequazione in un sistema di disequazioni, otteniamo:

• -c < f(x) < c

Considerazioni simili possono essere applicate se il simbolo è ≤ anziché <.

Caso: c > 0 e simbolo > (oppure ≥)

Riprendiamo l’unione dei due sistemi risolutivi:

• f(x) ≥ 0; f(x) > c
• f(x) < 0; -f(x) > c

Esprimiamo la seconda disequazione del secondo sistema come f(x) < -c.

In conclusione, otteniamo il seguente sistema di disequazioni:

• -c < f(x) < c

Lo stesso ragionamento si applica se il simbolo è ≥ anziché >.

Nota:

È importante ricordare che questi sono solo due casi specifici. La risoluzione di disequazioni con valore assoluto può variare a seconda del simbolo e del valore di c. Tuttavia, seguendo questi passaggi, siamo in grado di determinare le soluzioni per entrambi i casi principali.

Sistemi di disequazioni con valore assoluto

Quando si affronta un sistema di disequazioni con valore assoluto , è evidente che ogni sistema può essere ridotto a una singola disequazione nella formaf(x) > coppuref(x) < -c. Per risolvere il sistema, è sufficiente risolvere separatamente queste disequazioni e considerare l’unione dei rispettivi insiemi soluzione.

Esempi di disequazioni elementari con valore assoluto

Esempio 1:Consideriamo le disequazioni|x-1| < 0e|x^2-2x+1| < -3. Queste disequazioni non ammettono soluzioni. Poiché il valore assoluto è sempre una quantità positiva (o zero se l’argomento è nullo), nel primo caso il membro di sinistra non può essere negativo per nessun valore di x, mentre nel secondo caso il membro di sinistra non può essere minore di un numero negativo per nessun valore di x.

Esempio 2:Risolviamo la disequazione con valore assoluto |x^2-1| ≥ 1. Possiamo affrontare questa disequazione considerando la forma generale|f(x)| ≥ c, dove c > 0. Applicando il ragionamento sull’unione dei due sistemi, possiamo riscrivere la disequazione comex^2-1 ≤ -1 ∨ x^2-1 ≥ 1. Risolvendo separatamente le due disequazioni di secondo grado, otteniamo le soluzioni:x = 0perx^2-1 ≤ -1ex ≤ -√(2) ∨ x ≥ √(2)perx^2-1 ≥ 1. Quindi, l’insieme soluzione della disequazione di partenza è dato dax ≤ -√(2) ∨ x = 0 ∨ x ≥ √(2).

Disequazioni non elementari con valore assoluto

Consideriamo ora il caso più generale delle disequazioni con valore assoluto , dovef(x)eg(x)sono espressioni contenenti l’incognita x.

Procedura per Risolvere una Disequazione con Valore Assoluto

Il procedimento per risolvere una disequazione con valore assoluto è sostanzialmente simile a quello utilizzato nel caso elementare con c > 0. Di seguito, ti fornirò una guida dettagliata per affrontare questo tipo di disequazioni.

Passo 1: Imposta le Condizioni di Esistenza

Prima di iniziare, assicurati di impostare le eventuali condizioni di esistenza relative alle espressioni f(x) e g(x) coinvolte nella disequazione.

Passo 2: Studia il Segno dell’Argomento del Valore Assoluto

Per risolvere la disequazione, devi analizzare il segno dell’argomento del valore assoluto . Assumi f(x) ≥ 0 e determina gli intervalli in cui questa condizione è verificata.

Passo 3: Disegna la Tabella dei Segni

Procedi disegnando la tabella dei segni , individuando gli intervalli in cui f(x) è positiva o negativa. Utilizza una linea continua per rappresentare il segno positivo, una linea tratteggiata per indicare il segno negativo, e un pallino pieno per indicare dove f(x) si annulla.

Passo 4: Scrivi i Sistemi di Disequazioni

Per ciascun gruppo di intervalli con lo stesso segno, crea un sistema di disequazioni formato da due equazioni. La prima disequazione stabilisce il segno di f(x), mentre la seconda riscrive la disequazione di partenza eliminando il valore assoluto e attribuendo il giusto segno all’argomento.

Passo 5: Risolvi i Sistemi di Disequazioni

Risolvi separatamente i due sistemi di disequazioni che hai ottenuto nel passaggio precedente.

Passo 6: Individua le Soluzioni della Disequazione Iniziale

Infine, individua le soluzioni della disequazione iniziale come unione delle soluzioni dei due sistemi ottenuti nel passaggio precedente.

Esempio di Disequazione con Valore Assoluto

Proviamo a risolvere la seguente disequazione con un valore assoluto: |2x| ≥ 4x^2 – 2.

Svolgimento:Non è necessario porre alcuna condizione di esistenza, quindi procediamo direttamente alla seguente scaletta:

A) Studio del Segno di f(x) = 2x

Consideriamo f(x) = 2x e analizziamo il suo segno:

• 2x ≥ 0 → x ≥ 0

B) Tabella dei Segni

Disegnamo la tabella dei segni per la disequazione:

Intervallo	Segno di |2x|
x < 0	-2x
x ≥ 0	2x

Dal grafico si nota che |2x| = 2x se x ≥ 0 e -2x se x < 0.

C) Riscrittura della Disequazione

Riscriviamo la disequazione eliminando il valore assoluto:

• Per x < 0: -2x ≥ 4x^2 – 2
• Per x ≥ 0: 2x ≥ 4x^2 – 2

Continua la risoluzione dei due sistemi di disequazioni ottenuti nei passaggi successivi per individuare le soluzioni della disequazione iniziale.

Risoluzione delle disequazioni di secondo grado

Per risolvere le disequazioni di secondo grado , consideriamo due sistemi, ognuno con la relativa condizione sul segno dell’argomento:

Sistema 1:

• x < 0
• -2x ≥ 4x^2 – 2

Portiamo entrambe le disequazioni al primo membro:

• x < 0
• -4x^2 – 2x + 2 ≥ 0

Per comodità, rendiamo i coefficienti direttori positivi:

• x < 0
• 4x^2 + 2x – 2 ≤ 0

Risolviamo separatamente il sistema 1. La prima disequazione non richiede alcuna operazione, mentre la seconda è una disequazione di secondo grado:

• 4x^2 + 2x – 2 ≤ 0

L’equazione di secondo grado associata è:

• 4x^2 + 2x – 2 = 0

Calcoliamo le soluzioni:

• x_1,2 = (-2 ± √(4 + 32))/(8) = -1; (1/2)

Il simbolo di disequazione è ≤, il coefficiente direttivo è positivo e il delta è positivo.

Sistema 2:

• x ≥ 0
• 2x ≥ 4x^2 – 2

Portiamo entrambe le disequazioni al primo membro:

• x ≥ 0
• -4x^2 + 2x + 2 ≥ 0

Per comodità, rendiamo i coefficienti direttori positivi:

• x ≥ 0
• 4x^2 – 2x – 2 ≤ 0

Risolviamo separatamente il sistema 2. La prima disequazione non richiede alcuna operazione, mentre la seconda è una disequazione di secondo grado:

• 4x^2 – 2x – 2 ≤ 0

L’equazione di secondo grado associata è:

• 4x^2 – 2x – 2 = 0

Calcoliamo le soluzioni:

• x_1,2 = (-2 ± √(4 – 32))/(8) = (-2 ± √(-28))/(8)

In questo caso, il delta è negativo, quindi l’equazione non ha soluzioni reali. La disequazione sarà soddisfatta solo se x = 0.

Abbiamo quindi risolto separatamente entrambi i sistemi di disequazioni di secondo grado, ottenendo le soluzioni per ciascuno di essi.

Soluzione di una disequazione

Le soluzioni di una disequazione sono determinate dai valori compresi tra due soluzioni, con gli estremi inclusi. Ad esempio, consideriamo il sistema S_1:x < 0e-1 ≤ x ≤ (1)/(2). Da questa disequazione, possiamo osservare che le soluzioni sono-1 ≤ x < 0, come mostrato nella tabella risolutiva del primo sistema di disequazioni.

Primo sistema di disequazioni (S_1)

Soluzioni:-1 ≤ x < 0

Passiamo al secondo sistema di disequazioni , S_2:x ≥ 0e4x^2-2x-2 ≤ 0. Procedendo in modo analogo, ricaviamo le soluzioni di S_2:x ≥ 0e-(1)/(2) ≤ x ≤ 1. Quindi, le soluzioni del secondo sistema sono date da:0 ≤ x ≤ 1.

Secondo sistema di disequazioni (S_2)

Soluzioni:0 ≤ x ≤ 1

Per trovare le soluzioni della disequazione di partenza, uniamo le soluzioni dei due sistemi in una tabella sulla stessa linea. L’unione delle soluzioni dei due sistemi di disequazioni ci porta a:-1 ≤ x ≤ 1.

Disequazioni con due o più valori assoluti

Nel caso delle disequazioni con più di un valore assoluto, il procedimento è simile, con la differenza che potremmo avere più di due condizioni relative ai segni degli argomenti (e quindi più di due sistemi). Dopo aver imposto le eventuali condizioni di esistenza…

Studiare i segni degli argomenti

Per ogni valore assoluto, studiamo i segni degli argomenti .

Tabella dei segni

Disegniamo la tabella dei segni per individuare gli intervalli in cui i vari argomenti hanno segno positivo o negativo.

In conclusione, abbiamo analizzato il procedimento per risolvere una disequazione e abbiamo esaminato il caso delle disequazioni con più di un valore assoluto. Ora siamo pronti per applicare questi concetti nella risoluzione di problemi più complessi.

Risoluzione di una disequazione con più valori assoluti

Condizioni preliminari

Per risolvere una disequazione che contiene più valori assoluti, seguiamo una serie di passaggi.

Passaggio 1: Studio dei segni degli argomenti dei valori assoluti

Iniziamo analizzando i segni degli argomenti dei valori assoluti presenti nella disequazione. Per ogni argomento, impostiamo una condizione sul suo segno. Ad esempio, se abbiamo l’argomento x-1, otteniamo la condizione x ≥ 1. Allo stesso modo, se abbiamo l’argomento x^2-1, otteniamo la condizione x ≤ -1 ∨ x ≥ 1.

Passaggio 2: Creazione della tabella dei segni

Successivamente, creiamo una tabella dei segni che rappresenti le condizioni ottenute nel passaggio precedente. Nella tabella, attribuiamo il segno corrispondente a ciascun argomento, in base alle condizioni stabilite.

Passaggio 3: Risoluzione dei sistemi di disequazioni

Risolviamo separatamente ciascun sistema di disequazioni ottenuto dalla tabella dei segni. Ogni sistema rappresenta un intervallo che soddisfa le condizioni degli argomenti.

Passaggio 4: Determinazione delle soluzioni

Infine, determiniamo le soluzioni della disequazione iniziale come unione degli insiemi soluzione di tutti i sistemi di disequazioni ottenuti.

Esempio di risoluzione di una disequazione con più valori assoluti

Vogliamo risolvere la seguente disequazione:

Svolgimento: Non ci sono condizioni di esistenza specifiche da considerare, quindi possiamo procedere con la risoluzione.

Passaggio A: Studio dei segni degli argomenti dei valori assoluti

Studiamo i segni degli argomenti dei valori assoluti presenti nella disequazione:

• x-1 ≥ 0 → x ≥ 1
• x^2-1 ≥ 0 → x ≤ -1 ∨ x ≥ 1

Passaggio B: Creazione della tabella dei segni

Disegniamo la tabella dei segni basata sulle condizioni trovate:

• x < -1
• -1 ≤ x < 1
• x ≥ 1

Passaggio C: Risoluzione dei sistemi di disequazioni

Abbiamo ottenuto tre possibili intervalli dalla tabella dei segni:

• x < -1
• -1 ≤ x < 1
• x ≥ 1

Quindi, abbiamo tre sistemi di disequazioni da risolvere separatamente.

Seguendo questi passaggi, è possibile risolvere una disequazione contenente più valori assoluti in modo accurato e sistematico.

Sistema di disequazioni

Nell’analisi del problema, incontriamo tre intervalli di valori per la variabile x:

Intervallo x < -1

Consideriamo l’ intervallo x < -1 . In questa situazione, possiamo osservare che:

• x-1 < 0, il che implica che |x-1| = -(x-1) = -x+1
• x^2-1 > 0, quindi |x^2-1| = x^2-1

Riscriviamo la disequazione come:

-x+1 ≥ x^2-1

La disequazione successiva è:

x^2+x-2 ≤ 0

Intervallo -1 ≤ x < 1

Nell’ intervallo -1 ≤ x < 1 , valgono le seguenti relazioni:

• x-1 < 0, da cui |x-1| = -(x-1) = -x+1
• x^2-1 ≤ 0, quindi |x^2-1| = -(x^2-1) = -x^2+1

La disequazione può essere riscritta come:

-x+1 ≥ -x^2+1

Inoltre, la disequazione successiva è:

x^2-x ≥ 0

Intervallo x ≥ 1

Nell’ultimo intervallo, x ≥ 1 , osserviamo le seguenti relazioni:

• x-1 ≥ 0, da cui |x-1| = x-1
• x^2-1 ≥ 0, quindi |x^2-1| = x^2-1

La disequazione diventa:

x-1 ≥ x^2-1

Inoltre, la disequazione successiva è:

x^2-x ≤ 0

Soluzione dei sistemi di disequazioni

Procediamo ora risolvendo ciascun sistema separatamente.

Sistema S₁

Consideriamo il sistema S1 composto da:

• x < -1
• x^2+x-2 ≤ 0

La seconda disequazione è soddisfatta quando x^2+x-2 ≤ 0, quindi -2 ≤ x ≤ 1. Pertanto, il sistema si riduce a:

S1: x < -1 ; -2 ≤ x ≤ 1

Intersecando le due soluzioni, otteniamo:

Ossia S1: -2 ≤ x < -1

Sistema S₂

Esaminiamo il sistema S2 composto da:

• -1 ≤ x < 1
• x^2-x ≥ 0

La seconda disequazione è soddisfatta quando x^2-x ≥ 0, quindi x ≤ 0 ∨ x ≥ 1. Pertanto, il sistema si riduce a:

S2: -1 ≤ x < 1 ; x ≤ 0 ∨ x ≥ 1

Le soluzioni parziali possono essere rappresentate dal seguente grafico:

Sistema S₃

Infine, esaminiamo il sistema S3 composto da:

• x ≥ 1
• x^2-x ≤ 0

Procedendo come nei casi precedenti, otteniamo:

S3: x ≥ 1 ; 0 ≤ x ≤ 1

Le soluzioni parziali possono essere rappresentate dal seguente grafico:

In conclusione, abbiamo determinato l’insieme soluzione per il terzo sistema:

S3= 1

Conclusione sulla soluzione di una disequazione

Per concludere, uniamo le soluzioni dei tre sistemi rappresentandole in una tabella sulla stessa linea. In questo modo, otterremo l’insieme soluzione della disequazione di partenza combinando le soluzioni dei valori assoluti.

Insieme soluzione della disequazione con valori assoluti

Dall’unione delle soluzioni dei due valori assoluti , possiamo dedurre che l’insieme soluzione della disequazione è dato da:

S = S1U S2U S3

Dove:

• S₁ rappresenta l’intervallo -2 ≤ x ≤ 0
• S₂ rappresenta il punto x = 1

Quindi l’ insieme soluzione finale è:

S = [-2,0] U 1

Per consolidare il metodo risolutivo, vi consigliamo di fare molti esercizi. A tal proposito, su YM troverete migliaia di esercizi svolti e uno strumento comodo per risolvere le disequazioni online.