La distanza tra due punti nel piano cartesiano, nota anche come distanza euclidea, può essere calcolata utilizzando la seguente formula: la radice quadrata della somma del quadrato della differenza delle ascisse e del quadrato della differenza delle ordinate dei due punti. Questa distanza è sempre non negativa e sarà positiva se i due punti sono diversi, mentre sarà zero se i punti coincidono.
Nel presente formulario, forniremo la formula per il calcolo della distanza tra due punti nel piano cartesiano, oltre a spiegare come utilizzarla all’interno di un sistema di coordinate cartesiane. Inoltre, dimostreremo questa formula attraverso il teorema di Pitagora e forniremo esempi dettagliati di calcolo e risoluzione di esercizi.
Per ulteriori esercizi correlati, alla fine della pagina vi forniremo una scheda di esercizi e un comodo tool di calcolo online. Si tenga presente che questa lezione è adatta a studenti di terza media, scuole superiori e università.
Nella sezione finale, rivolta esclusivamente agli studenti universitari, approfondiremo la formula per calcolare la distanza tra due punti nello spazio (a tre dimensioni) e in N dimensioni.
Formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano
Per calcolare la distanza tra due punti nel piano cartesiano , consideriamo due punti individuati da una coppia di coordinate cartesiane del tipo (ascissa, ordinata). La distanza tra questi due punti può essere calcolata utilizzando la formula della distanza euclidea.
La formula per calcolare la distanza
La formula per calcolare la distanza tra i due punti, indicata come d(P1, P2) o P1P2, è definita come la radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze delle ascisse e delle ordinate dei due punti.
Matematicamente, la formula può essere espressa come:
d(P1, P2) = √((x2- x1)2+ (y2- y1)2)
Esempi sulla distanza tra due punti
Esempio A:Calcolare la distanza tra i punti P1= (1, 2) e P2= (3, 4).
Svolgimento: Applichiamo la formula d(P1, P2) = √((x2- x1)2+ (y2- y1)2) = √((3 – 1)2+ (4 – 2)2) = √(22+ 22) = √(8), che può essere riscritta come 2√2.
Esempio B:Calcolare la distanza tra i punti P = (1, -2) e Q = (2, 2).
Svolgimento: Utilizzando la stessa formula, otteniamo d(P, Q) = √((xQ- xP)2+ (yQ- yP)2) = √((2 – 1)2+ (2 – (-2))2) = √(12+ 42) = √(17).
L’esempio mette in luce un aspetto importante: quando effettuiamo i calcoli, è fondamentale utilizzare le parentesi correttamente, specialmente quando si ha un segno meno.
Esempio C:Calcolare la distanza del punto C = (5, 12) dall ‘origine degli assi.
Svolgimento: Per calcolare la distanza dal punto C all’origine degli assi, consideriamo l’origine come il secondo punto. Applicando la formula, otteniamo d(C, O) = √((xO- xC)2+ (yO- yC)2) = √((0 – 5)2+ (0 – 12)2) = √(25 + 144) = √(169) = 13.
In conclusione, la distanza tra due punti nel piano cartesiano può essere calcolata utilizzando la formula della distanza euclidea, che si basa sulla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze delle coordinate dei punti.
Come calcolare la distanza tra due punti nel piano cartesiano
Per calcolare la distanza tra due punti nel piano cartesiano , possiamo utilizzare la formula della distanza euclidea. Prendiamo ad esempio i punti C = (5, 12) e O = (0, 0).
Calcolo della distanza tra C e O
Applichiamo la formula tenendo conto che l’origine ha coordinate cartesiane date da O = (0, 0).
d(O,C) = √((xC-xO)²+(yC-yO)²) = √((5-0)²+(12-0)²) = √(25+144) = √(169) = 13.
La radice di 169 è infatti uguale a 13, una cifra tonda!
Calcolo della distanza tra A e B
Consideriamo ora i punti A = (-1, -3) e B = (5, -3).
d(A,B) = √((xB-xA)²+(yB-yA)²) = √((5-(-1))²+(-3-(-3))²) = √(36+0) = √(36) = 6.
Quindi la distanza tra i punti A e B è pari a 6.
Casi particolari nel calcolo della distanza tra due punti
Ora consideriamo alcuni casi particolari in cui il calcolo della distanza assume una forma più semplice.
1) Distanza tra due punti allineati su una retta orizzontale
Supponiamo di avere due punti P1= (x1, a) e P2= (x2, a), dove a è costante e la retta è parallela all’asse delle ascisse.
Utilizzando la formula generale della distanza euclidea:
d(P1, P2) = √((x2-x1)²+(y2-y1)²),
otteniamo:
d(P1, P2) = √((x2-x1)²+(a-a)²) = √((x2-x1)²).
È importante ricordare di estrarre sempre la radice quadrata e di utilizzare il valore assoluto della differenza (x2-x1), poiché non possiamo determinare a priori se la differenza sarà positiva o negativa.
2) Distanza tra due punti all ineati su una retta verticale
Supponiamo di avere due punti P1= (a, y1) e P2= (a, y2), dove a è costante e la retta è parallela all’asse delle ordinate.
Utilizzando la formula generale della distanza euclidea:
d(P1, P2) = √((x2-x1)²+(y2-y1)²),
otteniamo:
d(P1, P2) = √((a-a)²+(y2-y1)²) = √((y2-y1)²).
Quindi, per punti all ineati su una retta verticale, la distanza si riduce alla differenza tra le coordinate y dei due punti.
La distanza tra due punti nel piano
In tale eventualità, le coordinate dei due punti devono essere della formaP1= (a, y1)eP2= (a, y2). Utilizzando un procedimento del tutto analogo al caso precedente, possiamo ricavare quanto segue:
3) Distanza di un punto dall’origine degli assi
Per calcolare la distanza di un punto dall’origine degli assi , possiamo applicare la formula generale per la distanza tra due punti. Tenendo conto che uno dei due punti è l’origineO = (0, 0), supponiamo che le coordinate dell’altro punto sianoP(xP, yP). In questo caso, la formula per calcolare la distanza diventa:
d(P1, O) = √(xP2+ yP2)
Ecco un esempio pratico per meglio comprendere il concetto:
Supponiamo di avere il puntoCcon le coordinateC = (xC, yC). Per calcolare la distanza tra il puntoCe l’origine, possiamo utilizzare la formula precedentemente descritta.
Dimostrazione della formula per la distanza tra due punti nel piano
Abbiamo già fornito la dimostrazione dei casi particolari per la distanza tra punti allineati orizzontalmente o verticalmente, nonché per il caso della distanza dall’origine. Ora forniremo la dimostrazione generale utilizzando il teorema di Pitagora.
Consideriamo un terzo puntoCallineato orizzontalmente conP1, dunque con la stessa ordinata diP1, e verticalmente conP2, dunque con la stessa ascissa diP2. Ragioniamo sul triangolo di verticiP1, P2, C. Per come è stato costruito, è evidente cheP1P2Cè un triangolo rettangolo inC.
Con questa semplice osservazione, possiamo calcolare la distanza P1P2come lunghezza dell’ipotenusa del triangolo rettangoloP1P2Ccon l’angolo retto inC. Applicando il teorema di Pitagora, otteniamo:
P1P2= √(P1C2+ CP22)
Distanza tra due punti nel piano cartesiano
Per calcolare la distanza tra due punti nel piano cartesiano , utilizziamo il teorema di Pitagora. Siano P₁(x₁, y₁) e P₂(x₂, y₂) i due punti di interesse. La differenza tra le ascisse dei due punti, P₁C, può essere calcolata come |x₂ – x₁|, mentre la differenza tra le ordinate, CP₂, è data da |y₂ – y₁|. Sostituendo queste differenze nella formula del teorema di Pitagora, otteniamo:
P₁P₂ = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²)
Eliminiamo il valore assoluto, poiché abbiamo un elevamento al quadrato, e otteniamo:
P₁P₂ = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²)
Abbiamo così dimostrato la formula per la distanza tra due punti nel piano cartesiano .
Proprietà della distanza tra due punti
A partire dalla definizione di distanza euclidea, possiamo dedurre alcune proprietà fondamentali che la contraddistinguono:
- Il radicando della formula è una somma di quadrati, pertanto è sempre un numero non negativo o nullo nel caso in cui i due punti coincidano (x₁ = x₂ e y₁ = y₂). Di conseguenza, la definizione di distanza è ben posta, poiché non ci troveremo mai a calcolare la radice quadrata di un numero negativo.
- Il valore della distanza, d(P₁, P₂), è sempre non negativo, poiché rappresenta una radice quadrata. In altre parole, la distanza euclidea è sempre positiva o nulla, ed è nulla solamente se i due punti tra cui si calcola la distanza coincidono.
Queste proprietà sono importanti nel contesto delle coordinate cartesiane e confermano l’utilità e l’affidabilità della distanza tra due punti .
La formula per calcolare la distanza tra due punti nel piano cartesiano utilizzando il teorema di Pitagora è stata dimostrata. Inoltre, abbiamo esaminato le proprietà che caratterizzano questa distanza , confermando la sua validità e la sua natura non negativa. La comprensione di queste proprietà è fondamentale per gli studenti di matematica di vari livelli di istruzione, dalla scuola media all’università.
I simboli e la distanza euclidea
Una delle domande che possono sorgere riguardo a i simboli è se il cambiamento dell’ordine dei punti influisca sul risultato della distanza calcolata. Intuitivamente, si potrebbe pensare di no, altrimenti il concetto di distanza perderebbe significato. E in effetti è così: la distanza euclidea non dipende dall’ordine con cui si considerano i punti.
Per comprendere questo concetto, basta osservare che le differenze tra le ascisse e le ordinate dei punti vengono elevate al quadrato e poi sommate sotto radice. Pertanto, d(P1,P2) = √((x2-x1)²+(y2-y1)²) = √([-(x1-x2)]²+[-(y1-y2)]²) = Grazie alle proprietà delle potenze = √((x1-x2)²+(y1-y2)²) = d(P2,P1). Tecnicamente, si può affermare ch e la distanza euclidea è simmetrica.
La distanza euclidea e la disuguaglianza triangolare
Un interessante esempio da considerare riguarda le proprietà dei triangoli. È noto che, in ogni triangolo, la lunghezza di un lato è sempre minore della somma delle lunghezze degli altri du e la ti. Se consideriamo i tre vertici di un triangolo come punti nel piano cartesiano, chiamandoli P1, P2e P3, possiamo calcolare le misure dei lati utilizzando la formula della distanza euclidea: P1P2= d(P1,P2); P2P3= d(P2,P3); P3P1= d(P3,P1).
La distanza euclidea tra due punti soddisfa la proprietà della disuguaglianza triangolare. A differenza della disuguaglianza triangolare geometrica, qui utilizziamo il simbolo di maggiore-uguale invece di maggiore (stretto) per includere anche il caso in cui i tre punti sono allineati, che non configurerebbe un triangolo dal punto di vista geometrico.
Distanza tra due punti nello spazio e in più dimensioni
Benvenuti all’approfondimento promesso nella nostra introduzione per gli universitari. La formula per calcolare la distanza tra due punti nel piano, dato le loro coordinate, può essere facilmente generalizzata per spazi tridimensionali e, più in generale, per qualsiasi spazio vettoriale di dimensione n.
Nel caso della distanza tra due punti nello spazio , chiamiamoli P1e P2, possiamo definire la distanza euclidea o metrica euclidea in uno spazio vettoriale di dimensione n (con n ≥ 1). Questa distanza è espressa come la norma del vettore differenza tra i due punti: ||P1- P2||.
Per calcolare esplicitamente la distanza euclidea, possiamo utilizzare la notazione simbolica della sommatoria. Coloro che desiderano approfondire ulteriormente possono consultare la lezione dedicata al concetto di spazio e uclideo.
Formule per il punto medio di un segmento
Nel formulario successivo, illustreremo le formule per trovare il punto medio di un segmento e, successivamente, la formula per calcolare la distanza tra un punto e una retta. Assicuratevi di consultare la scheda correlata di problemi ed esercizi svolti. In caso di necessità, potete utilizzare il tool online per calcolare la distanza tra due punti. Inoltre, ricordate che su YM sono disponibili migliaia di esercizi risolti dallo staff che potete trovare facilmente utilizzando la barra di ricerca interna.
Vi ringraziamo per l’attenzione e ci auguriamo di avervi fornito le informazioni necessarie per comprendere la distanza tra due punti nello spazio e in più dimensioni. Se avete altre domande, non esitate a chiedere.
