Le equazioni di secondo grado, note anche come equazioni di grado 2 o equazioni quadratiche, rappresentano un tipo di equazioni in cui l’incognita compare con un esponente di grado 2 e, eventualmente, con esponenti di grado inferiore. Dopo aver affrontato le equazioni di primo grado, è naturale passare alla successiva tipologia di equazioni, definite mediante polinomi. In questa lezione, ci concentreremo sulle equazioni di secondo grado, fornendo una definizione dettagliata e studiando i principali metodi di risoluzione.
Come vedremo in seguito, è possibile utilizzare una formula risolutiva per le equazioni di secondo grado, nota anche come formula del delta (o formula del discriminante). Questa formula può essere applicata in ogni caso. Tuttavia, esploreremo anche una classificazione che ci consentirà di utilizzare metodi risolutivi più immediati in determinati casi particolari.
Ma come sono effettivamente formulate le equazioni di secondo grado? Possiamo fornire una definizione semplice e intuitiva: un’equazione è di grado 2 se uno dei due membri è un polinomio di grado 2, mentre l’altro membro è un polinomio di grado massimo 2.
Cosa sono le equazioni di secondo grado?
Le equazioni di secondo grado sono un tipo di equazioni polinomiali in cui l’incognita compare almeno una volta con un’esponente di grado 2. Queste equazioni possono assumere diverse forme equivalenti, ma è più utile definire la forma normale delle equazioni di secondo grado per semplificarne lo studio.
Forma normale delle equazioni di secondo grado
La forma normale delle equazioni di secondo grado è definita come:
ax2+ bx + c = 0
dove:
- a è il coefficiente del termine di grado 2
- b è il coefficiente del termine di grado 1
- c è il coefficiente del termine di grado 0, o termine noto
È importante notare che una equazione può essere considerata di secondo grado solo seaè diverso da zero. Seaè uguale a zero, ci troviamo di fronte a un’equazione di primo grado sebè diverso da zero, o a un’equazione senza incognita sebè uguale a zero.
Obiettivo dello studio delle equazioni di secondo grado
Lo scopo dello studio delle equazioni di secondo grado è quello di riuscire a risolvere qualsiasi equazione di secondo grado nella sua forma normale, o eventualmente risolvere equazioni che sono state ricondotte a questa forma normale.
Equazioni di secondo grado e il numero di soluzioni
Quando si affrontano le equazioni di secondo grado , è importante comprendere il numero di soluzioni che possono essere ottenute. Per capire meglio questo concetto, prendiamo in considerazione un esempio di equazione comex^3 + x^2 = x^3. Inizialmente sembrerebbe un’equazione di terzo grado, ma in realtà può essere facilmente ridotta a un’equazione di secondo grado, ossiax^2 = 0.
Numero di soluzioni per un’equazione di secondo grado in forma normale
Ricordate lo schema che abbiamo utilizzato per le equazioni di primo grado? In quel contesto, abbiamo esaminato tutti i possibili casi riguardanti il numero di soluzioni , inclusi quelli che risultavano da riduzioni a equazioni senza incognite, come equazioni impossibili o indeterminate. Tuttavia, per le equazioni di secondo grado, adotteremo un approccio più formale, tralasciando i possibili casi di riduzione a gradi inferiori dovuti a cancellazioni dei termini contenenti l’incognita. Ci concentreremo invece sull’analisi del numero di soluzioni per le equazioni di secondo grado in forma normale.
Consideriamo quindi la forma normale delle equazioni di secondo grado e ci chiediamo quante soluzioni possono essere ottenute, considerando l’insieme dei numeri reali R come insieme di esistenza delle soluzioni. In altre parole, assumiamo chea,becsiano numeri reali e le soluzioni possibili debbano essere cercate nell’insieme R.
Tipi di soluzioni per un’equazione di secondo grado
Esistono tre possibilità principali per il numero di soluzioni di un’equazione di secondo grado:
- Due soluzioni: L’equazione di secondo grado è determinata e ammette due soluzioni reali.
- Una soluzione: L’equazione di secondo grado è determinata e ammette una soluzione reale. In questo caso, si dice che l’equazione ha due soluzioni reali coincidenti o che ha una soluzione reale con molteplicità algebrica 2.
- Nessuna soluzione: L’equazione di secondo grado è impossibile e non ammette alcuna soluzione reale.
È fondamentale comprendere queste possibilità per poter risolvere correttamente le equazioni di secondo grado e interpretare i risultati ottenuti. Ora che abbiamo chiarito i concetti relativi al numero di soluzioni, sarete in grado di affrontare con maggiore confidenza questo tipo di equazioni.
Metodi di risoluzione e classificazione delle equazioni di secondo grado
Come anticipato in precedenza, esistono diversi metodi per risolvere le equazioni di secondo grado . Uno di questi è un metodo generale che può essere utilizzato per risolvere qualsiasi equazione di secondo grado, mentre ci sono anche metodi più specifici che si applicano solo a casi particolari. In questa guida forniremo una panoramica completa sulla classificazione delle equazioni di secondo grado, illustrando i diversi metodi risolutivi e fornendo esempi specifici per ciascun caso.
Equazioni di secondo grado complete e formula del delta
Un’equazione di secondo grado completa è un’equazione di secondo grado in cui tutti i coefficienti sono diversi da zero. Il metodo principale per risolvere queste equazioni, chiamato formula risolutiva delle equazioni di secondo grado o formula del delta, è abbastanza semplice. Questo metodo coinvolge l’uso di una quantità chiamata discriminante, indicata con la lettera greca maiuscola Δ. Il discriminante ci permette di scrivere la formula risolutiva come segue:
x = (-b ± √Δ) / (2a)
Dove il simbolo ± indica che dobbiamo considerare due possibilità ugualmente valide: la prima sostituendo il segno + al posto di ± e la seconda sostituendo il segno – al posto di ±.
Il discriminante Δ può essere calcolato come segue:
Δ = b² – 4ac
Dove a, b e c sono i coefficienti dell’equazione di secondo grado .
La formula risolutiva per le equazioni di secondo grado complete
La risoluzione del le equazioni di secondo grado complete presenta due aspetti estremamente interessanti che vale la pena esaminare nel dettaglio:
A) Applicabilità universale
Una delle caratteristiche più rilevanti della formula risolutiva per le equazioni di secondo grado è la sua utilizzabilità in ogni caso, anche per le equazioni di secondo grado non complete. Ciò significa che la stessa formula può essere applicata a qualsiasi tipo di equazione di secondo grado, rendendola una risorsa potente per la risoluzione di problemi matematici.
B) Predizione del numero di soluzioni
Un altro aspetto fondamentale della formula risolutiva è la sua capacità di fornire informazioni sul numero di soluzioni di un’equazione di secondo grado ancora prima di applicarla effettivamente. Questa previsione può essere effettuata analizzando attentamente il secondo termine del numeratore.
Consideriamo il segno del discriminante (Δ), che può assumere tre possibili valori: positivo, negativo o nullo. In base a questa analisi, possiamo giungere alle seguenti conclusioni riguardo al numero di soluzioni :
1) Discriminante positivo (Δ > 0)
Se il discriminante è positivo, avremo due soluzioni reali distinte. Questo perché, in questo caso, siamo di fronte all’operazione di somma o sottrazione della radice quadrata di un numero positivo. L’esistenza di due soluzioni distinte indica la presenza di punti di intersezione distinti tra la parabola rappresentata dall’equazione di secondo grado e l’asse delle ascisse.
2) Discriminante nullo (Δ = 0)
Se il discriminante è nullo, avremo due soluzioni reali coincidenti. Ciò si verifica quando dobbiamo sommare o sottrarre la radice quadrata di zero, che, come è noto, è zero. Di conseguenza, l’equazione di secondo grado presenta un punto di intersezione unico con l’asse delle ascisse, senza ulteriori punti di intersezione.
3) Discriminante negativo (Δ < 0)
Se il discriminante è negativo, la formula risolutiva perde di significato e l’equazione di secondo grado non ammette soluzioni reali. Questo accade perché l’estrazione della radice quadrata di un numero negativo non è possibile nell’insieme dei numeri reali. Pertanto, l’equazione non ha punti di intersezione con l’asse delle ascisse e non ammette soluzioni reali.
Nei prossimi insegnamenti, approfondiremo la procedura per ottenere la formula del discriminante e spiegheremo in dettaglio come il segno del discriminante possa individuare il numero di soluzioni nelle equazioni di secondo grado. Inoltre, esamineremo la possibilità di semplificare la formula del discriminante utilizzando versioni ridotte, come la delta quarti.
Esempi di equazioni di secondo grado complete
Un’equazione di secondo grado completa è un’equazione nella formax^2 – 3x + 2 = 0. Calcoliamo il delta:
Δ = b^2 – 4ac = (-3)^2 – 4·1·2 = 9 – 8 = 1 > 0
Poiché il discriminante è positivo, ci aspettiamo due soluzioni reali e distinte per l’equazione:
x_(1,2) = (-b ± √(Δ)) / (2a) = (-(-3) ± √(1)) / (2·1) = (3 ± 1) / 2 = (3 – 1) / 2 = 2 / 2 = 1 ; (3 + 1) / 2 = 4 / 2 = 2
In conclusione, le soluzioni sonox_1 = 1ex_2 = 2.
Un altro esempio di equazione di secondo grado completa
Consideriamo l’equazionex^2 – 2x + 1 = 0. Partiamo dal discriminante:
Δ = b^2 – 4ac = (-2)^2 – 4·1·1 = 4 – 4 = 0
Avremo quindi due soluzioni reali e coincidenti:
x_(1,2) = (-b ± √(Δ)) / (2a) = (-(-2) ± √(0)) / (2·1) = (2 ± 0) / 2 = 2 / 2 = 1
L’equazione ha un’unica soluzione reale (con molteplicità algebrica 2) che èx = 1.
Equazione di secondo grado impossibile
Consideriamo l’equazionex^2 + x + 1 = 0. Calcoliamo il delta dell’equazione:
Δ = b^2 – 4ac = 1^2 – 4·1·1 = 1 – 4 = -3 < 0
Poiché il delta è negativo, l’equazione è impossibile nell’insieme dei numeri reali.
Equazioni di secondo grado monomie
Un’equazione di secondo grado monomia è un’equazione di secondo grado in forma normale in cui i coefficienti dei termini di grado 1 e 0 sono nulli, ossiab = 0 = c.
Il metodo di risoluzione delle equazioni di secondo grado monomie è immediato e non richiede calcoli: esse infatti ammettono sempre due soluzioni reali e coincidenti, entrambe nulle, quale che sia il valore dia ≠ 0.
Se non ci fidiamo, nulla ci vieta di applicare la formula risolutiva per le equazioni complete:
x_(1,2) = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / (2a) = (-0 ± √(0^2 – 4·a·0)) / (2·a) = (0 ± 0) / (2a) = 0
Esempio di equazione di secondo grado monomia:5x^2 = 0. L’unica soluzione reale ha molteplicità algebrica 2 ed è ovviamentex = 0.
Equazioni di secondo grado pure
Un’equazione di secondo grado pura è un’equazione di secondo grado in forma normale in cui il coefficiente del termine di grado 1 è nullo e il termine noto è diverso da zero:b = 0,c ≠ 0.
Per risolvere un’equazione in questa forma, possiamo procedere al calcolo diretto delle eventuali soluzioni. Ci sono due possibilità:
Caso 1: a e c sono concordi
Se i coefficientiaec sono concordi , allora(-c)/(a)è negativo e l’equazione non ammette soluzioni reali (impossibile).
Caso 2: a e c sono discordi
Se i coefficientiaec sono discordi , allora(-c)/(a)è positivo e l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte (determinata).
Le soluzioni sono date da:
A voi il compito di verificar e c he, applicando la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado complete nel caso delle monomie, otteniamo esattamente le soluzioni appena scritte.
Domanda da un milione di dollari: perché, nell’estrarre la radice quadrata, dobbiamo aggiungere un segno ±? Perché entrambe le possibilità risolvono l’equazione, infatti se eleviamo al quadrato entrambe le soluzioni otteniamo:
(+√((-c)/(a)))^2 = (-c)/(a)
(-√((-c)/(a)))^2 = (-c)/(a)
come richiesto dall’equazione monomia di secondo grado.
Occhio al dettaglio: l’estrazione della radice quadrata e la risoluzione di equazioni
Quando si tratta di estrarr e la radice quadrata di un numero, è importante non trascurare un piccolo ma subdolo dettaglio: l’operazione √(9) è uguale a 3 e non a ±3. Tuttavia, quando affrontiamo la risoluzione di un’equazione, la situazione è diversa. In questo caso, stiamo cercando tutti i possibili valori che, sostituiti a x, rendono vera l’uguaglianza.
Ecco alcuni esempi di equazioni di secondo grado:
Primo esempio: -2x^2+4 = 0
Applicando il procedimento, otteniamo x^2 = (-4)/(-2) = (4)/(2) = 2. Poiché il secondo membro è positivo, l’equazione ammette due soluzioni distinte date da x_(1,2) = ±√(2).
Secondo esempio: 3x^2+7 = 0
In questo caso, abbiamo x^2 = (-7)/(3), dove (-7)/(3) è negativo. Di conseguenza, l’equazione non ammette soluzioni reali.
Se desiderate consultare altri esempi di equazioni risolte, vi invitiamo a fare riferimento al nostro approfondimento sulle equazioni di secondo grado.
Equazioni di secondo grado spurie
Un’equazione di secondo grado spuria è un’equazione di secondo grado in cui il termine noto è nullo (c = 0) e il coefficiente del termine di grado 1 non è nullo (b ≠ 0). In questo caso, la risoluzione è immediata e possiamo evitare di utilizzare la formula del discriminante.
Possiamo ricavare le soluzioni applicando la legge di annullamento del prodotto, che afferma che il prodotto di due fattori è zero se almeno uno dei due fattori è nullo. Pertanto, dobbiamo effettuare un raccoglimento a fattore comune: ax^2+bx = 0 → x(ax+b) = 0. Successivamente, applichiamo la legge di annullamento al prodotto su x(ax+b), ponendo separatamente ognuno dei due fattori uguale a zero: x = 0 ; ax+b = 0. In questo modo otteniamo due soluzioni distinte: x_1 = 0 e x_2 = (-b)/(a).
Esempio di equazione di secondo grado spuria
Consideriamo l’ equazione di secondo grado spuria :3x^2+7x = 0.
Applicando il procedimento per le equazioni spurie, otteniamo:
x(3x+7) = 0
da cui le soluzioni:
x = 0 ; 3x+7 = 0 → x = -(7)/(3)
Metodo alternativo – Risolvere le equazioni di secondo grado per scomposizione
Esiste un metodo alternativo all’utilizzo della formula del delta per le equazioni di secondo grado, che può essere utilizzato sia per le equazioni complete che per quelle non complete, ma che ha una limitazione pratica.
Consideriamo la forma normale del le equazioni di secondo grado . Se è possibile scomporre il polinomio di secondo grado come prodotto di due binomi di grado 1, e se siamo in grado di farlo con le tecniche di scomposizione che discendono dai prodotti notevoli, allora possiamo scomporre il polinomio nella seguente forma:
ax^2+bx+c = a(x+A)(x+B)
A questo punto riscriviamo l’equazione nella forma equivalente:
a(x+A)(x+B) = 0 → (x+A)(x+B) = 0
e applichiamo la legge di annullamento del prodotto per calcolare le soluzioni:
x+A = 0 → x = -A ; x+B = 0 → x = -B
Questo metodo potrà essere utilizzato ovviamente solo per le equazioni di secondo grado determinate, dunque con due soluzioni reali distinte (x_1 = -A ≠ -B = x_2) o con due soluzioni reali coincidenti (A = B).
Per ottenere la scomposizione del polinomio di grado 2 possiamo usare qualsiasi tecnica atta allo scopo, e principalmente: differenza di quadrati, trinomio notevole con somma e prodotto, quadrato di binomio…
Questo metodo è utile per diversi motivi.
Scomposizione del trinomio di secondo grado
Talvolta, durante la risoluzione di equazioni di secondo grado nella forma ax^2 + bx + c = 0, è possibile riconoscere immediatamente che il trinomio può essere scomposto facilmente, evitando così i calcoli associati alla formula del discriminante.
Soluzioni reali e coincidenti
Dal punto di vista teorico, quando il discriminante Δ è uguale a zero, si parla di due soluzioni reali e coincidenti nell’equazione di secondo grado. Ad esempio, consideriamo l’equazione x^2 + 4x + 4 = 0. Possiamo osservare immediatamente che il primo membro è il quadrato di un binomio (x + 2)^2 = 0, che può essere riscritto nella forma estesa (x + 2)(x + 2) = 0. In questo caso, x = -2 rappresenta una soluzione doppia dell’equazione: è un singolo valore numerico che risolve l’equazione in due modi, annullando sia il primo fattore che il secondo.
Scomposizione dei polinomi
Il metodo di scomposizione può essere applicato anche al contrario, ovvero per scomporre polinomi nei quali i prodotti notevoli non sono d’aiuto. Supponiamo di avere un polinomio di secondo grado e desideriamo scomporlo. Possiamo considerare l’equazione associata nella forma ax^2 + bx + c = 0. Se l’equazione ha una soluzione determinata, allora il polinomio con coefficienti reali può essere scomposto nel prodotto di due binomi:
- Se Δ = 0, l’equazione ammette un’unica soluzione con molteplicità algebrica. Chiamiamo questa soluzione x = x1. La scomposizione del polinomio sarà:
- Se Δ > 0, l’equazione ammette due soluzioni reali distinte x = x1 e x = x2. La scomposizione del polinomio sarà:
È importante notare che in entrambi i casi, per ottenere le scomposizioni corrette, è necessario anteporre un segno meno alle soluzioni.
Scomposizione dei trinomi con le equazioni di secondo grado
Per comprendere appieno il concetto di scomposizione dei trinomi con le equazioni di secondo grado , è necessario dedicare un po’ di tempo all’approfondimento. Ciò che presenteremo qui rappresenta solo un’anteprima, poiché ci sono molti altri aspetti interessanti da esplorare sulle equazioni di secondo grado. Tuttavia, preferiamo seguire un percorso graduale per garantire una comprensione solida dei fondamenti prima di passare a tematiche più avanzate. Ad ogni modo, non preoccupatevi, perché quando affronteremo gli argomenti relativi ai numeri complessi, avrete modo di divertirvi e scoprire ulteriori sfaccettature affascinanti.
