In questa lezione, approfondiremo tre importanti proprietà delle funzioni: la suriettività, l’iniettività e la biettività. Introdurremo le definizioni di funzione iniettiva, suriettiva e biettiva e spiegheremo il significato di queste proprietà. Le definizioni che proporremo saranno generali, applicabili a funzioni tra due insiemi qualsiasi e non solo a funzioni reali di variabile reale. Nelle lezioni successive, affronteremo gli aspetti pratici e i metodi di studio specifici per queste proprietà.
Tuttavia, è fondamentale sottolineare che non si può prescindere dallo studio preliminare delle definizioni, soprattutto per le funzioni iniettive e suriettive, che possono presentare alcune insidie per i meno esperti.
Facendo riferimento alle rappresentazioni mediante punti e frecce introdotte nella lezione sulla definizione di funzione, una funzione è suriettiva se ogni elemento del secondo insieme è raggiunto da almeno una freccia che parte dal primo insieme, come illustrato nella figura.
Per esprimere la definizione di funzione suriettiva in termini rigorosi, diciamo che una funzione è suriettiva se l’immagine della funzione f coincide con il codominio, che è l’insieme di arrivo della funzione (nel nostro caso B). In altre parole, la definizione di funzione suriettiva può essere formulata come segue: una funzione f è suriettiva se per ogni elemento b del codominio B esiste almeno un elemento a del dominio A tale per cui b è l’immagine di a mediante f, ossia b = f(a).
La Definizione di Funzione
Una funzione può essere rappresentata simbolicamente, indicando che l’immagine della funzione coincide con il codominio. È importante fare attenzione a non confondere la scrittura simbolica del la definizione di funzione suriettiva con quella della definizione di funzione.
Nelle prossime lezioni entreremo nel dettaglio e spiegheremo il metodo per stabilire se una funzione è suriettiva, fornendo numerosi esempi.
Funzione Iniettiva
Una funzione si dice essere iniettiva quando elementi distinti del dominio (l’insieme su cui la funzione è definita, nel nostro caso A) hanno immagini distinte. In simboli, possiamo esprimerlo come:
“Una formulazione del tutto equivalente è la seguente: una funzione è iniettiva se ogni immagine (intesa come elemento dell’immagine della funzione) non ammette più di una preimmagine. In parole povere, una funzione è iniettiva se, per qualsiasi coppia di elementi che abbiano la stessa immagine, i due elementi devono necessariamente coincidere.”
Spiegheremo nel dettaglio il metodo per stabilire se una funzione è iniettiva nella prossima lezione.
Funzione Biunivoca (Funzione Biettiva)
È possibile avere una funzione che sia sia iniettiva che suriettiva. Questo tipo di funzione è chiamata funzione biunivoca (o funzione biettiva) e stabilisce una corrispondenza “uno a uno” tra due insiemi. Graficamente, possiamo rappresentare questa situazione come mostrato nella figura sottostante.
La funzione biunivoca e la sua importanza in Analisi Matematica
La nozione di funzione biunivoca rappresenta un concetto di fondamentale importanza nell’ambito dell’Analisi Matematica. Essa denota una proprietà aggiuntiva che sarà discussa in dettaglio nel prosieguo. Una funzione biettiva, infatti, è caratterizzata dalla sua invertibilità, il che significa che è possibile ottenere nuovamente una funzione invertendo semplicemente il verso delle frecce (come illustrato nella figura sottostante). Questa proprietà di biunivocità garantisce che la funzione inversa, che rappresenta il percorso inverso della funzione originale, sia una vera e propria funzione matematica. Tale funzione inversa soddisfa la regola secondo cui le frecce non possono sdoppiarsi e viene comunemente denominata funzione inversa di f.
La garanzia di un percorso inverso coerente
La presenza di un a funzione biunivoca assicura che l’inversione del percorso sia ben definita e coerente. In altre parole, se una funzione f mappa un insieme di valori A in un insieme di valori B, la funzione inversa di f, indicata come f^(-1), mappa l’insieme di valori B nell’insieme di valori A. Questa corrispondenza reciproca è fondamentale per comprendere e analizzare le relazioni tra gli elementi di A e B.
L’unicità della funzione inversa
È importante sottolineare che una funzione biunivoca ha una sola funzione inversa . Questo significa che ogni elemento dell’insieme di valori B è associato ad uno e uno solo elemento dell’insieme di valori A attraverso la funzione inversa f^(-1). Non ci sono ambiguità o duplicazioni nella corrispondenza tra gli elementi dei due insiemi.
