I limiti notevoli rappresentano dei limiti particolari di funzioni elementari che si verificano frequentemente e vengono dimostrati una volta per tutte. Nel calcolo dei limiti, questi limiti notevoli vengono considerati come risultati consolidati. In altre parole, i limiti notevoli sono utilizzati come fondamenta per il calcolo di limiti più complessi che li coinvolgono.
Ecco il cuore dei metodi di calcolo dei limiti. In questa lezione, vi presentiamo una tabella esaustiva dei limiti notevoli. Questa tabella elenca i risultati relativi ai limiti, ognuno con una propria dimostrazione, che possono essere utilizzati direttamente nella risoluzione degli esercizi. Conoscere i limiti notevoli è di fondamentale importanza per il proseguimento degli studi in Matematica, pertanto vi raccomandiamo di non sottovalutarli.
Questo formulario sui limiti notevoli è più di una semplice lezione; è uno strumento essenziale sia per chi sta iniziando lo studio dei limiti, sia per chi sta facendo un ripasso. Nella prossima lezione, passeremo all’azione spiegando come applicare i limiti notevoli negli esercizi. Mostreremo diverse tecniche di applicazione pratica attraverso vari esempi svolti e commentati.
Rifacendoci alle lezioni precedenti, ricordiamo che durante lo studio delle forme indeterminate avevamo sottolineato che il calcolo dei limiti non è semplice come sembra. Infatti, gli strumenti forniti dall’Algebra dei Limiti e dall’Algebra degli Infiniti e Infinitesimi non sono sempre sufficienti. Ciò è dovuto al fatto che non possiamo risolvere a priori tutti i possibili calcoli che possono sorgere durante la risoluzione di un limite.
Soluzione delle forme di indecisione mediante i limiti notevoli
Per risolvere efficacemente ogni forma di indecisione , abbiamo associato un metodo di risoluzione specifico. Di seguito, descriveremo dettagliatamente ciascun metodo, tenendo presente che, purtroppo, non siamo in grado di risolvere tutte le forme indeterminate che possono presentarsi. Tuttavia, i limiti notevoli ci consentono di risolvere un’ampia varietà di esercizi. I limiti notevoli, come suggerisce il nome stesso, sono limiti di funzioni particolari che si presentano spesso e possono essere utilizzati senza ulteriori giustificazioni una volta che se ne abbia compreso la dimostrazione.
Guida alla lettura della tabella dei limiti notevoli
Nel presente formulario, forniamo un elenco completo dei limiti notevoli utili negli esercizi. I limiti numerati in arancione sono quelli che userete nel 98% dei casi, mentre quelli in verde sono meno comuni e di solito vengono impiegati negli studi universitari, pertanto gli studenti delle scuole superiori possono trascurarli. Infine, i limiti in azzurro possono essere dedotti dagli altri limiti notevoli. Li presentiamo qui per completezza, ma potete ignorarli se preferite raggiungere i risultati attraverso un ragionamento puro anziché la memorizzazione. È importante sottolineare che le dimostrazioni dei limiti notevoli non sono indispensabili per il calcolo dei limiti, ma sono essenziali per la comprensione e l’apprendimento di nuovi metodi di ragionamento.
Limiti Notevoli: Versione Base e Generale
Per comprendere appieno i limiti notevoli, è estremamente utile fornire una duplice versione di ciascun limite nell’elenco. Questo permette di avere una visione più approfondita senza duplicazioni. Da un lato, riportiamo il limite notevole di base, nella sua forma pura e semplice. Dall’altro lato, presentiamo il corrispondente limite notevole in forma generale.
È importante sottolineare che, negli esercizi, utilizzerete nella maggior parte dei casi la seconda versione dei limiti notevoli. Questo sarà evidente nella lezione successiva sull’utilizzo specifico dei limiti notevoli.
Elenco Completo dei Limiti Notevoli
Di seguito è riportato l’ elenco completo dei limiti notevoli :
- Limite Notevole dell’Esponenziale: rappresenta la forma indeterminata [(0)/(0)].
- Limite Notevole del Logaritmo Naturale: rappresenta la forma indeterminata [(0)/(0)].
- Limite Notevole del Seno: rappresenta la forma indeterminata [(0)/(0)].
- Limite Notevole del Coseno: rappresenta la forma indeterminata [(0)/(0)].
- Limite Notevole della Tangente: rappresenta la forma indeterminata [(0)/(0)].
- Limite Notevole dell’Arcoseno: rappresenta la forma indeterminata [(0)/(0)].
- Limite Notevole dell’Arcocoseno: rappresenta la forma indeterminata [(0)/(0)].
- Limite Notevole dell’Arcotangente: rappresenta la forma indeterminata [(0)/(0)].
- Limite Notevole della Funzione Esponenziale: rappresenta la forma indeterminata [(0)/(0)].
- Limite Notevole del Numero di Nepero: rappresenta la forma indeterminata [1^∞].
È importante sottolineare che nella generalizzazione di ciascun limite notevole, riportata a destra, la struttura rimane invariata e la variabilexpuò essere sostituita da una qualsiasi funzionef(x). Questa sostituzione è consentita a condizione che la variabilextenda a qualsiasi valore finito o infinito, purchéf(x)soddisfi la condizione specificata nel limite notevole generalizzato.
Limiti Notevoli delle Funzioni Matematiche
Il limite notevole del logaritmo naturale è definito come:
1. Limite del logaritmo naturale
Per x che tende a 0, il limite del la funzione ln(1+x)/x è uguale a 1. Inoltre, se consideriamo una funzione f(x) che tende a 0, il limite di ln(1+f(x))/f(x) è anch’esso 1.
Limite del logaritmo con base arbitraria
Per x che tende a 0, il limite del la funzione log_a(1+x)/x è pari a 1/ln(a), dove a è un numero reale positivo diverso da 1. Analogamente, se consideriamo una funzione f(x) che tende a 0, il limite di log_a(1+f(x))/f(x) è anch’esso 1/ln(a).
2. Limite della funzione esponenziale
Per x che tende a 0, il limite della funzione (e^x-1)/x è uguale a 1. Allo stesso modo, se consideriamo una funzione f(x) che tende a 0, il limite di (e^(f(x))-1)/f(x) è 1.
Limite della funzione esponenziale con base arbitraria
Per x che tende a 0, il limite della funzione (a^x-1)/x è ln(a), dove a è un numero reale positivo. Analogamente, se consideriamo una funzione f(x) che tende a 0, il limite di (a^(f(x))-1)/f(x) è ln(a), sempre con a > 0.
3. Limite del numero di Nepero
Per x che tende a ±∞, il limite del la funzione (1+(1/x))^x è uguale a e, il numero di Nepero. In modo simile, se consideriamo una funzione f(x) che tende a ±∞, il limite di (1+(1/f(x)))^(f(x)) è e.
4. Limite della potenza con differenza
Per x che tende a 0, il limite della funzione ((1+x)^c-1)/x è uguale a c, dove c è un numero reale. Se consideriamo una funzione f(x) che tende a 0, il limite di ((1+f(x))^c-1)/f(x) è sempre c, con c appartenente all’insieme dei numeri reali.
5. Limite della funzione seno
Per x che tende a 0, il limite della funzione sin(x)/x è uguale a 1. In modo simile, se consideriamo una funzione f(x) che tende a 0, il limite di sin(f(x))/f(x) è anch’esso 1.
6. Limite della funzione coseno
Per x che tende a 0, il limite della funzione (1-cos(x))/x^2 è uguale a 1/2. Analogamente, se consideriamo una funzione f(x) che tende a 0, il limite di (1-cos(f(x)))/(f(x))^2 è anche 1/2.
7. Limite della funzione tangente
Per x che tende a 0, il limite della funzione tan(x)/x è uguale a 1. Allo stesso modo, se consideriamo una funzione f(x) che tende a 0, il limite di tan(f(x))/f(x) è anch’esso 1.
Limiti Notevoli delle Funzioni Trigonometriche e Iperboliche
In matematica, i limiti notevoli rappresentano dei risultati importanti nel calcolo dei limiti di alcune funzioni. Essi forniscono valori chiave che semplificano notevolmente il processo di calcolo. In questa lezione, esamineremo alcuni limiti notevoli delle funzioni trigonometriche e iperboliche.
Limite Notevole dell’Arcoseno
Il limite notevole dell’arcoseno è dato da:
lim(x → 0)(arcsin(x))/(x) = 1
Inoltre, se consideriamo una funzionef(x)che si avvicina a zero, il limite notevole diventa:
lim(f(x) → 0)(arcsin(f(x)))/(f(x)) = 1
Limite Notevole dell’Arcotangente
Il limite notevole dell’arcotangente è dato da:
lim(x → 0)(arctan(x))/(x) = 1
Se consideriamo una funzionef(x)che si avvicina a zero, il limite notevole diventa:
lim(f(x) → 0)(arctan(f(x)))/(f(x)) = 1
Limite Notevole del Seno Iperbolico
Il limite notevole del seno iperbolico è dato da:
lim(x → 0)(sinh(x))/(x) = 1
Inoltre, se consideriamo una funzionef(x)che si avvicina a zero, il limite notevole diventa:
lim(f(x) → 0)(sinh(f(x)))/(f(x)) = 1
Limite Notevole del Coseno Iperbolico
Il limite notevole del coseno iperbolico è dato da:
lim(x → 0)(cosh(x)-1)/(x^2) = 1/2
Se consideriamo una funzionef(x)che si avvicina a zero, il limite notevole diventa:
lim(f(x) → 0)(cosh(f(x))-1)/((f(x))^2) = 1/2
Limite Notevole della Tangente Iperbolica
Il limite notevole della tangente iperbolica è dato da:
lim(x → 0)(tanh(x))/(x) = 1
Inoltre, se consideriamo una funzionef(x)che si avvicina a zero, il limite notevole diventa:
lim(f(x) → 0)(tanh(f(x)))/(f(x)) = 1
È importante notare che alcune fonti includono erroneamente il limitelim(x → 0+)xln(x) = 0come limite notevole . Tuttavia, questo limite non rientra nella categoria dei limiti notevoli.
Conoscere i limiti notevoli è fondamentale, ma è altrettanto importante saperli applicare correttamente. Per ulteriori informazioni su come utilizzare i limiti notevoli, vi invitiamo a leggere la prossima lezione: “Come si usano i limiti notevoli?”.
