La parabola è una figura geometrica nel piano cartesiano. È il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso chiamato fuoco e da una retta chiamata direttrice. Esistono due tipi di parabole, quelle con asse di simmetria verticale e quelle con asse di simmetria orizzontale. La parabola con asse verticale ha un’equazione del tipo y = ax2 + bx + c, mentre quella con asse orizzontale ha un’equazione del tipo x = ay2 + by + c.
Una parabola può essere anche considerata come una conica non degenere. Nel formulario che segue, presenteremo la definizione dettagliata della parabola nel piano cartesiano, fornendo tutte le principali formule associate. Inoltre, distingueremo tra le parabole con asse di simmetria verticale e quelle con asse di simmetria orizzontale, esponendo le corrispondenti equazioni. Ci concentreremo principalmente sul calcolo del vertice, dell’asse, del fuoco e della direttrice.
Al fine di non appesantire eccessivamente il formulario, riporteremo solo le definizioni e le formule essenziali per la risoluzione dei problemi e degli esercizi di Geometria Analitica. Durante l’esposizione, forniremo riferimenti ad approfondimenti utili, come la dimostrazione dell’equazione della parabola e lo studio del segmento parabolico. Non affronteremo esempi specifici durante la lezione, ma non preoccupatevi: alla fine, avrete accesso a una scheda di esercizi risolti e spiegati in dettaglio. 😉
La Definizione delle Parabole nel Piano Cartesiano
Volendo esprimere la definizione delle parabole in termini algebrici, possiamo chiamare P un generico punto della parabola e scrivere…
Rappresentazione Grafica delle Parabole
Se siete alle prime armi, la definizione algebrica potrebbe non dirvi molto. Pertanto, passiamo ad una rappresentazione grafica che permette di comprenderne meglio il concetto.
La direttrice è un elemento fondamentale che regola la disposizione che una parabola può assumere nel piano cartesiano. Essendo una retta, la direttrice può avere qualsiasi possibile inclinazione.
Tuttavia, alle scuole superiori si trattano esclusivamente le parabole con direttrice orizzontale e verticale. Lo studio di altri tipi di parabole avviene solamente all’università, nei corsi di Algebra Lineare (gli interessati possono approfondire nella lezione sulla classificazione delle coniche).
Parabola con Direttrice Orizzontale e Verticale
A seconda che la direttrice sia orizzontale o verticale, otterremo rispettivamente una parabola con asse di simmetria verticale oppure orizzontale.
È importante sottolineare che, a livello teorico, la definizione di partenza è sempre la stessa per entrambi i casi. Tuttavia, nella pratica, si otterranno equazioni e formule completamente diverse.
Elementi caratteristici della parabola
Una parabola presenta diversi elementi caratteristici che possiamo definire come segue:
Asse di simmetria della parabola
L’ asse di simmetria è una retta che divide la parabola in due parti uguali.
Vertice della parabola
Il vertice è il punto di intersezione tra la parabola e l’asse di simmetria.
Fuoco della parabola
Il fuoco è il punto che si trova alla stessa distanza dalla direttrice per ogni punto della parabola .
Direttrice della parabola
La direttrice è la retta che si trova alla stessa distanza dal fuoco per ogni punto della parabola .
Formule della parabola
Le formule della parabola possono essere elencate separatamente per i due casi: parabola ad asse di simmetria verticale e parabola ad asse di simmetria orizzontale.
Equazione della parabola con asse di simmetria verticale
Nel caso dell’ asse di simmetria verticale , l’equazione della parabola è espressa come una equazione quadratica in due incognite x e y, senza il termine y^2, e di solito viene scritta in forma esplicita (y = …).
Le incognite x e y rappresentano le coordinate del punto P = (x, y) appartenente alla parabola. Perché un punto sia sulla parabola, le sue coordinate cartesiane x e y devono soddisfare l’ equazione della parabola .
È importante notare che l’equazione deve avere un coefficiente a diverso da zero, altrimenti si otterrebbe l’equazione di una retta (y = bx + c).
I coefficienti a, b e c sono numerici e possono assumere qualsiasi valore.
Il segno del coefficiente a e la concavità della parabola
Un aspetto fondamentale da considerare riguarda il segno del coefficiente a nella formula della parabola di secondo grado. Questo coefficiente determina il verso in cui la parabola volge la sua concavità.
Parabola rivolta verso l’alto
Quando il coefficiente a è uguale a 1 e i coefficienti b e c sono entrambi nulli, otteniamo una parabola rivolta verso l’alto . Il suo asse di simmetria corrisponde all’asse delle ordinate e il vertice si trova nell’origine del sistema di coordinate cartesiane.
Calcolo delle coordinate del vertice
Per calcolare le coordinate del vertice della parabola, possiamo utilizzare le seguenti formule:
- x del vertice: x_V = -(b)/(2a)
- y del vertice: y_V = -(Δ)/(4a)
Calcolo delle coordinate del fuoco
Le coordinate del fuoco della parabola possono essere determinate come segue:
- x del fuoco: x_F = -(b)/(2a)
- y del fuoco: y_F = (1-Δ)/(4a)
Equazione dell’asse e della direttrice
L’ass e della parabola ha l’equazione x = x_V, che corrisponde a x = -(b)/(2a). La direttrice della parabola ha l’equazione y = -(1+Δ)/(4a).
Equazione della parabola con asse di simmetria orizzontale
Nel caso in cui la parabola abbia un asse di simmetria orizzontale , valgono considerazioni simili al caso precedente, ma con un’equazione leggermente diversa:
y = ax^2 + bx + c
Anche in questo caso, la condizione per avere una parabola, anziché una retta, è che il coefficiente a sia diverso da zero.
L’orientamento della parabola e le sue caratteristiche
Il segno del coefficienteadetermina l’orientamento della parabola e , in particolare, la sua concavità. Nel caso particolare in cuia = 1,b = 0, ec = 0, otteniamo una parabola con l’asse coincidente con l’asse delle ascisse, il vertice nell’origine e rivolta verso destra.
Calcolo delle coordinate del vertice, del fuoco, dell’asse e della direttrice
Le formule per calcolare le coordinate del vertice della parabola, del fuoco, nonché le equazioni dell’asse e della direttrice sono le seguenti:
Vertice:
Le coordinate del vertice sono date da:
V = (-Δ/(4a), -(b)/(2a))
Fuoco:
Le coordinate del fuoco sono date da:
F = ((1-Δ)/(4a), -(b)/(2a))
Asse:
L’equazione dell’asse è:
y = yV= -(b)/(2a)
Direttrice:
L’equazione della direttrice è:
x = -(1+Δ)/(4a)
Per ulteriori dettagli e esempi correlati, si consiglia di consultare le seguenti pagine:
- Equazione della parabola: verticale o orizzontale?
- Come calcolare le coordinate del vertice di una parabola.
- Come trovare le coordinate del fuoco di una parabola.
- Ricavare l’equazione della direttrice di una parabola.
Se si desidera disegnare una parabola nel piano cartesiano, prendendo in considerazione un’equazione con asse di simmetria verticale o orizzontale, è possibile seguire i seguenti passaggi.
Come comportarsi nell’analisi delle parabole
Quando ci troviamo di fronte all’analisi di una parabola, è importante seguire alcuni passaggi per ottenere una rappresentazione precisa, anche se non necessariamente esatta. Di seguito ti forniamo una guida che ti aiuterà ad affrontare il problema in modo efficace:
1. Leggere l’equazione e comprendere le caratteristiche dell’asse e della parabola
Il primo passo consiste nella lettura e comprensione dell’equazion e della parabola . Dovrai identificare se l’asse è verticale o orizzontale e determinare il verso della parabola (sopra o sotto, destra o sinistra).
2. Calcolare le coordinate del vertice
Dopo aver identificato l’asse e il verso della parabola, dovrai calcolare le coordinate del vertice . Questo punto è di fondamentale importanza per il disegno e l’interpretazione della parabola.
3. Disegnare l’asse di simmetria
Utilizzando le coordinate del vertice, disegna l’asse di simmetria della parabola. Questa linea divide la parabola in due parti uguali.
4. Calcolare le coordinate di due punti distinti e opposti rispetto all’asse di simmetria
Dopo aver tracciato l’asse di simmetria , calcola le coordinate di due punti distinti che si trovano in posizioni opposte rispetto all’asse di simmetria. Questi punti saranno utilizzati per disegnare la parabola.
Una volta ottenute le coordinate del vertice e dei punti distinti, puoi procedere al disegno della parabola. Collega i punti con il vertice e prolunga la curva indefinitamente in entrambe le direzioni.
Questo procedimento si basa su un teorema della geometria che afferma che per tre punti distinti passa una ed una sola parabola. Non entreremo nei dettagli di questo teorema, ma se desideri consultare un esempio pratico, puoi leggere ulteriori informazioni su come disegnare una parabola.
Possibili posizioni di una retta rispetto ad una parabola
Allo stesso modo delle circonferenze, anche le parabole possono intersecarsi con rette in diverse posizioni. Questa è una tipologia comune di esercizio che richiede lo studio delle posizioni relative tra retta e parabola. Per evitare di sovraccaricare di informazioni, affronteremo questo argomento nel paragrafo successivo.
Equazione della retta tangente alla parabola in un punto
Esiste una formula specifica per calcolare l’equazione della retta tangente alla parabola in un punto specifico. Questa formula è conosciuta come formula di sdoppiamento e fornisce un modo preciso per determinare l’equazione della retta tangente.
Le due forme della parabola e il punto di tangenza
La parabola può assumere due forme principali: con un asse di simmetria verticale (y = ax^2+bx+c) o orizzontale (x = ay^2+by+c). Nel caso in cui desideriamo determinare la tangente al punto P = (x_P,y_P), l’equazione della tangente sarà rispettivamente:
Parabola con asse di simmetria verticale:
La tangente ha un’equazione specifica per questo caso.
Parabola con asse di simmetria orizzontale:
La tangente ha un’altra equazione specifica per questo caso.
Tuttavia, anziché ricordare queste due formule specifiche, è molto più utile comprendere il metodo generale che permette di ottenere le formule di sdoppiamento. Questo approccio generale fornirà una solida base per la comprensione delle proprietà delle parabole.
Il punto di riferimento: il vertice
Spesso, nel linguaggio comune, si sente parlare di “parabola ascendente o discendente”. Il punto di riferimento in questi casi è il vertice della parabola. Il vertice è un punto di estrema importanza e fornisce informazioni cruciali sul comportamento della curva.
Curiosità sulle parabole e i paraboloidi
È importante notare ch e i l termine “parabola” può essere utilizzato in modo diverso nel linguaggio comune. Ad esempio, si fa riferimento alle antenne paraboliche dei sistemi di ricezione televisiva. Tuttavia, queste antenne non hanno la forma di una linea, ma piuttosto di una superficie ottenuta facendo ruotare una parabola intorno al proprio asse, chiamata paraboloide.
Per approfondire ulteriormente lo studio delle parabole e dei segmenti parabolici, è possibile consultare una scheda correlata di esercizi svolti. Inoltre, se si desidera trovare ulteriori risorse e strumenti per lo studio delle parabole online, è consigliabile utilizzare la barra di ricerca interna di YM, dove sono disponibili migliaia di problemi ed esercizi risolti in dettaglio, inclusi comodi strumenti per lo studio delle parabole.
