Il parallelepipedo rettangolo è un tipo di prisma caratterizzato da due basi che sono entrambe rettangoli. È un poliedro convesso che può essere classificato come un caso particolare di prisma retto.
Nel nostro formulario, approfondiremo la famiglia dei parallelepipedi concentrandoci sulla classificazione e sulle proprietà che li caratterizzano. Al fine di fornirvi una visione completa della teoria, presenteremo le definizioni in diverse forme equivalenti.
Prima di esaminare le formule specifiche per il parallelepipedo rettangolo, è importante comprendere le differenze tra un parallelepipedo retto e uno obliquo. Inoltre, ricordate che un rettangolo è un tipo particolare di parallelogramma.
Definizione di parallelepipedo: un parallelepipedo è un poliedro con due basi costituite da parallelogrammi congruenti e paralleli. Le sue facce laterali sono formate da quattro parallelogrammi. Possiamo anche considerare un parallelepipedo come un prisma con due parallelogrammi come basi.
Il parallelepipedo rettangolo è di particolare importanza poiché ricorre frequentemente negli esercizi delle scuole medie e superiori. Pertanto, è essenziale conoscere le definizioni relative ai prismi, poiché il parallelepipedo è un caso specifico di prisma.
Continua a leggere per scoprire le formule specifiche per il parallelepipedo rettangolo e approfondire ulteriormente la teoria dei parallelepipedi.
Parallelepipedi obliqui
Un parallelepipedo obliquo è un solido con gli spigoli della superficie laterale non paralleli all’altezza. In altre parole, le facce della superficie laterale sono parallelogrammi, ma non necessariamente rettangoli. Un parallelepipedo obliquo può essere visto come un prisma obliquo con due parallelogrammi come basi.
Parallelepipedi retti
Un parallelepipedo retto è un solido in cui le facce laterali sono rettangoli, quindi gli spigoli della superficie laterale sono tutti paralleli tra loro, paralleli all’altezza e perpendicolari alle basi. Un parallelepipedo retto può essere considerato un prisma retto con due parallelogrammi come basi.
Si può facilmente notare che nella proiezione ortogonale di una base sull’altra, la base stessa coincide in un parallelepipedo retto.
Parallelepipedi rettangoli
Un parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo retto in cui le basi sono rettangoli. In altre parole:
- È un prisma retto con due rettangoli come basi.
- È un esaedro con facce rettangolari.
- È un poliedro con 6 facce rettangolari.
Classificazione dei parallelepipedi
Per una migliore comprensione, è utile esprimere la classificazione dei parallelepipedi tramite un diagramma di Venn.
Formule del Parallelepipedo Rettangolo
Le formule del parallelepipedo rettangolo sono una specifica delle formule del prisma. Se desideriamo calcolare il volume di un parallelepipedo generico, possiamo utilizzare la formula del volume del prisma:V = S_bh, dove l’area di baseS_bè definita come l’area di un parallelogramma.
Tuttavia, ci concentreremo sulle formule specifiche del parallelepipedo rettangolo , poiché in questo caso è possibile caratterizzarle in modo molto più semplice. Le dimensioni del rettangolo di base saranno indicate comeaeb, mentre la diagonale di base sarà indicata comed. Il perimetro di base sarà2p, l’area della superficie di base saràS_b, la diagonale del parallelepipedo rettangolo saràD, l’altezza saràh, l’area della superficie laterale saràS_(lat), l’area della superficie totale saràS_(tot)e il volume sarà indicato comeV.
Formule del Parallelepipedo Rettangolo:
- Area della superficie di base: S_b = ab
- Area della superficie laterale: S_(lat) = 2h(a + b)
- Area della superficie totale: S_(tot) = 2ab + 2h(a + b)
- Volume: V = abh
- Diagonale del parallelepipedo rettangolo: D = √(a² + b² + h²)
Utilizzando queste formule, è possibile calcolare facilmente l’area, il volume e le dimensioni del parallelepipedo rettangolo specifico conosciute le misure corrispondenti.
Volume e Superficie di un Parallelepipedo Rettangolo
Volume
Il volume (con la superficie di base) di un parallelepipedo rettangolo può essere calcolato utilizzando la formula:V = Sb· h, dove Sbrappresenta l’area della base e h è l’altezza del parallelepipedo.
Superficie Totale
La superficie totale di un parallelepipedo rettangolo si può calcolare sommando la superficie laterale e il doppio della superficie di base. Quindi, abbiamo la formula:Stot= Slat+ 2Sb.
Superficie Laterale
La superficie laterale di un parallelepipedo rettangolo può essere calcolata in due modi: dalla superficie totale o utilizzando il perimetro di base e l’altezza. Le formule sono le seguenti:
- Superficie laterale (dalla totale): Slat = Stot – 2Sb
- Superficie laterale (con il perimetro di base): Slat = 2p · h
Superficie di Base
La superficie di base di un parallelepipedo rettangolo può essere calcolata sia dalla superficie totale che dal volume, utilizzando le seguenti formule:
- Superficie di base (dalla totale): Sb = (Stot – Slat) / 2
- Superficie di base (dal volume): Sb = V / h
Altezza e Perimetro di Base
L’ altezza e il perimetro di base di un parallelepipedo rettangolo possono essere calcolati come segue:
- Altezza (dal volume): h = V / Sb
- Altezza (dalla superficie laterale): h = Slat / (2p)
- Perimetro di base (perimetro del rettangolo): 2p = 2a + 2b
- Perimetro di base (dalla superficie laterale): 2p = Slat / h
Diagonale
La diagonale di un parallelepipedo rettangolo può essere calcolata utilizzando il teorema di Pitagora. Abbiamo le seguenti formule:
- Diagonale del paralle lepipedo rettangolo: D = √(d^2 + h^2)
- Diagonale del parallelepipedo rettangolo (considerando anche le dimensioni della base): D = √(a^2 + b^2 + h^2)
Proprietà del Parallelepipedo Rettangolo
Poiché abbiamo già esposto le principali proprietà del parallelepipedo nell’ambito delle definizioni, passiamo direttamente all’elenco delle più importanti proprietà del parallelepipedo rettangolo:
- Le facce sono rettangoli.
- Le facce opposte sono congruenti.
- Le facce giacciono su piani a due a due paralleli.
- Il parallelepipedo rettangolo ha 6 facce, 8 vertici e 12 spigoli.
- In un parallelepipedo rettangolo ci sono 16 diagonali, di cui 4 diagonali interne e 12 diagonali di superficie.
- Tutti gli angoli diedri interni hanno un’ampiezza pari a 90°.
Nota: Ricordiamo sempre le formule del rettangolo.
Cubo: Un Parallelepipedo Rettangolo Speciale
Ricordando che un quadrato è un particolare tipo di rettangolo, si intuisce facilmente che il cubo (o esaedro regolare) è un particolare tipo di parallelepipedo rettangolo .
Il Cubo come Solido Platonico
In particolare, il cubo è l’unico solido platonico che rientra nella famiglia dei parallelepipedi e, più in generale, dei prismi.
