I radicali sono numeri definiti mediante radici con indice intero. Essi possono essere espressi come potenze con esponente frazionario attraverso una semplice regola e presentano diverse proprietà che semplificano il calcolo. Questa lezione informativa è dedicata principalmente agli studenti delle scuole superiori e offre una spiegazione approfondita sui radicali, includendo tutte le loro proprietà.
Inizieremo con la definizione di radicale. Consideriamo un numero a e un numero naturale positivo n. Per definire correttamente il radicale con indice n, o radice n-esima di a, dobbiamo distinguere due casi:
- Se n è un numero dispari, la radice n-esima di a è il numero b tale che elevato ad n ci restituisce a.
- Se n è un numero pari, consideriamo un numero positivo a. La radice n-esima di a è il numero positivo b tale che elevato ad n ci restituisce a.
In entrambi i casi, a viene chiamato radicando, n è l’indice di radice e √ è il simbolo di radice.
Presentiamo ora un esempio per illustrare quanto appena spiegato. Prendiamo la radice terza di 8. In accordo con la definizione, otteniamo √(8) = 2, poiché 2^(3) = 8.
I più curiosi potrebbero chiedersi perché, nel caso in cui n è pari, abbiamo richiesto che b sia positivo.
Radice Quadrata: Definizione e Condizioni di Realità
La determinazione della radice quadrata di un numero può risultare un punto delicato per molti studenti, quindi è importante approfondire questo argomento. Consideriamo ad esempio la radice quadrata del numero 4. Secondo la definizione della potenza di un numero, otteniamo: (+2)^2 = (+2)·(+2) = 4; (-2)^2 = (-2)·(-2) = 4. Quindi ci sono due numeri (2 e -2) che, elevati al quadrato, danno come risultato 4. Questo potrebbe portare a una definizione ambigua dell’operazione di estrazione della radice quadrata con indice pari (in questo caso, indice 2) se non specificassimo quale numero scegliere come radice di 4.
Per evitare ambiguità, si stabilisce che √(4) = 2 e non, come potrebbe sembrare a molti, √(4) = ±2. Tuttavia, per gli studenti che frequentano il quinto anno di scuola superiore o oltre, è importante approfondire ulteriormente la definizione della funzione radice con indice pari, che, in accordo con la sua definizione, assume valori nell’intervallo [0,+∞).
Condizione di realtà dei radicali con indice pari
Un’altra condizione, chiamata ” condizione di realtà ,” è posta nella definizione dei radicali con indice pari. Tale condizione richiede che il radicando sia maggiore o uguale a zero. In generale, se l’indice della radice è pari, allora il radicando deve essere maggiore o uguale a zero. Se, invece, l’indice della radice è dispari, il radicando può avere qualsiasi segno. Ad esempio, la radice quadrata di un numero negativo non è definita, mentre la radice cubica esiste sempre.
Ma perché è importante imporre la condizione di realtà nella definizione dei radicali con indice pari? Questo requisito è necessario affinché la definizione abbia un significato coerente e non conduca a ambiguità nella scelta delle radici.
Riscrittura dettagliata della definizione dei Radicali
Se riscriviamo la definizione se n è pari: [n]√(a) = b ⇔ b^n = a, con a ≥ 0 e b ≥ 0, poiché una qualsiasi potenza con esponente pari non può essere negativa. Pertanto, quando prendiamo n pari in b^n = a, è necessario richiedere che a sia maggiore di 0.
Radicali come Potenze con Esponente Frazionario
È utile sapere che esiste un ulteriore modo per indicare una qualsiasi radice n-esima. Vale infatti la seguente relazione tra radicali e potenze:
[n]√(a) = a^(1/n)
Attraverso questa relazione possiamo esprimere la radice ennesima come potenza con esponente razionale. In altre parole, possiamo scrivere la radice ennesima come una frazione in cui il numeratore diventa l’esponente del radicando e il denominatore diventa l’indice del radicale.
Esempi di Radicali come Potenze con Esponente Frazionario:
Ad esempio, possiamo riscrivere:
√(25) = 25^((1/2)) = 5
√(125) = 125^((1/3)) = 5
(1)/(√(16^(3))) = 16^(-(3/4)) = (1)/(8)
Per ulteriori approfondimenti sulle potenze con esponente frazionario, puoi dare un’occhiata a:potenze con esponente frazionario.
Attenzione agli Esponenti Negativi
Per definizione, si pone:
a^(-(1/n)) = (1)/(a^(1/n))
Ad esempio:
25^((1/2)) = √(25) = 5
125^((1/3)) = √(125) = 5
16^(-(3/4)) = (1)/(16^((3/4))) = (1)/(√(16^(3))) = (1)/(8)
Per ulteriori informazioni sulle potenze con esponente negativo, puoi consultare:potenze con esponente negativo.
Proprietà dei Radicali
Come avrai già notato, esprimendo i radicali come potenze, essi ereditano tutte le proprietà delle potenze che già conosciamo.
Somma e Differenza di Radicali
Le operazioni di addizione e sottrazione tra radicali possono avvenire solo se essi sono simili, ovvero se hanno lo stesso indice e lo stesso radicando. In tal caso, la somma o la differ enza sarà un nuovo radicale che avrà come radice la stessa radice e come coefficiente la somma o la differenza dei coefficienti.
Esempio di riordinamento di espressioni con radicali
Consideriamo l’espressione: 3√(2)+2√(3)-5√(2)+4√(3)+√(2)
Per semplificare l’espressione, raggruppiamo i termini simili:
3√(2)-5√(2)+√(2)+2√(3)+4√(3)
Sommiamo i coefficienti dei termini simili:
(3-5+1)√(2)+(2+4)√(3) = -√(2)+6√(3)
Quindi, l’espressione 3√(2)+2√(3)-5√(2)+4√(3)+√(2) è equivalente a -√(2)+6√(3).
Prodotto di radicali con lo stesso indice
Il prodotto di due radici con lo stesso indice è una radice che ha lo stesso indice e come radicando il prodotto dei radicandi:
√(a)×√(b) = √(a×b)
Ad esempio: √(8×27) = √(8)×√(27) = 2×3 = 6
Quoziente di radicali con lo stesso indice
Il quoziente di due radici con lo stesso indice è una radice che ha come radicando il quoziente dei radicandi e lo stesso indice:
√(a)/√(b) = √(a/b)
Operazioni con radicali di indici diversi
Per calcolare il prodotto o il quoziente di radicali con indici diversi , è necessario applicare la proprietà invariante dei radicali:
Moltiplicando l’indice della radice e l’esponente del radicando per lo stesso valore non negativo, il risultato della radice non cambia.
La formula matematica è:
√(a^m) = (√(a))^m
Questa proprietà può essere letta anche al contrario, da destra a sinistra, se necessario.
La necessità di radicandi non negativi
Lo studente più diligente si chiederà come mai è richiesto che il radicando sia non negativo. Questa condizione è imposta per evitare possibili contraddizioni matematiche.
Pensiamo ad esempio alla radice quadrata di un numero negativo, come √(-2). Se proviamo a semplificarla, otteniamo √(2^2) = √((-2)^(2)). Questo ci porta a una contraddizione, poiché elevando un numero negativo al quadrato otteniamo un risultato positivo.
La riduzione di due radicali allo stesso indice
Una tecnica utilissima che ci permette di moltiplicare e dividere tra loro due radicali con indici di radice diversi è la cosiddetta riduzione allo stesso indice. Vediamo come applicarla.
Metodo di riduzione allo stesso indice
Consideriamo due radici con indici distinti: [n]√(a) e [m]√(b).
- Calcoliamo il minimo comune multiplo tra n ed m. Questo diventerà l’indice comune a tutte le radici.
- Dividiamo il nuovo indice per i rispettivi indici delle radici e otteniamo dei quozienti.
- Eleviamo i radicandi ai rispettivi quozienti. In questo modo otterremo nuove radici equivalenti a quelle date.
Ad esempio, proviamo a ridurre allo stesso indice i radicali √(8) e √(16).
Il minimo comune multiplo tra 3 e 4 è 12, che diventerà il nuovo indice delle radici. Quindi otteniamo sqrt(8) e sqrt(16).
Dividendo 12 per 3 otteniamo 4, che sarà l’esponente del primo radicando.
Proprietà e operazioni sui radicali
Quando affrontiamo l e operazioni con i radicali, come la moltiplicazione, divisione e potenza, è importante conoscere alcune proprietà che semplificano i calcoli.
Moltiplicazione e divisione di radicali con indici diversi
Per effettuare il prodotto e il quoziente di radici con indici diversi , dobbiamo ridurle allo stesso indice. Successivamente, utilizzeremo le proprietà per la moltiplicazione e divisione di radicali con lo stesso indice.
Esempio: Per calcolare √(2)×√(3), riduciamo i radicali allo stesso indice: √(2^2)×√(3^3) = √(4)×√(27). Utilizzando la proprietà dei radicali per la moltiplicazione, otteniamo √(4×27) = √(108).
Potenza di un radicale
La potenza m-esima di un a radice che ha indice n e radicando a è una radice che ha per indice n e per radicando la potenza am.
Esempio:
Calcoliamo (√(3))^(2): √(3^2) = √(9).
Inoltre, √(sqrt3) = sqrt3.
Per ulteriori esempi, si può consultare la sezione “Radice di radice”.
Trasporto di un fattore dentro il segno di radice
Talvolta, può essere utile trasportare sotto il segno di radice un fattore che si trova al di fuori. Ciò è sempre possibile. Se il fattore è positivo, si procede nel seguente modo: si porta il numero dentro la radice, dopo averlo elevato ad una potenza uguale all’indice della radice.
Cosa succede se il fattore fuori dalla radice è negativo? In tal caso, trasportiamo dentro il radicale il numero senza il segno, lasciando il meno fuori.
Trasporto di un fattore dentro la radice
La tecnica del trasporto al di fuori del segno di radice è un metodo che consente di trasportare un fattore all’interno del radicando fuori dal segno di radice. Questo è possibile se il fattore è una potenza con un esponente uguale all’indice della radice.
Esempio 1: √(12)
Per esempio, consideriamo √(12). Possiamo scomporre il radicando come √(2^2·3), il che ci permette di trasportare il fattore 2 all’esterno della radice, ottenendo 2√(3).
Esempio 2: √(80)
In un altro esempio, prendiamo √(80). Scomponendo il radicando come √(2^4·5), possiamo trasportare il fattore 2 all’esterno della radice, ottenendo 2√(5).
Caso generale
In generale, possiamo trasportare fuori dal segno di radice qualsiasi fattore all’interno del radicando che abbia un esponente maggiore o uguale all’indice della radice.
Esempio 3: √(192)
Consideriamo √(192). Possiamo scomporre il radicando come √(2^6·3). Applicando il trasporto all’interno della radice, otteniamo 2^2√(3) che è uguale a 4√(3).
Esempio 4: √(160)
Prendiamo √(160). Scomponendo il radicando come √(2^5·5), possiamo trasportare il fattore 2 fuori dal segno di radice. Utilizzando la proprietà delle potenze, possiamo riscrivere 2^5 come 2^4·2. Pertanto, otteniamo √(160) = √(2^4·2·5) = 2√(2·5) = 2√(10).
È importante notare che per lavorare con i radicali è fondamentale saper scomporre un numero nel prodotto di numeri primi. Se desideri un ripasso veloce su come scomporre i numeri, puoi fare clic sul link precedente.
Questa è solo una breve introduzione al trasporto di un fattore dentro e fuori il segno di radice. Esistono molti altri esempi e casi specifici che è possibile esplorare per approfondire ulteriormente l’argomento.
Esercitarsi con i Radicali Matematici: Utilizzando la Scheda di Esercizi Correlata
Come esperti matematici, si consiglia sempre di esercitarsi regolarmente per migliorare le proprie abilità e comprendere meglio concetti complessi come i radicali . Per facilitare questo processo, vi invitiamo a utilizzare la scheda di esercizi specificamente sviluppata per affrontare gli argomenti legati ai radicali.
Scheda di Esercizi sui Radicali
La scheda di esercizi sui radicali vi offre una serie di problemi matematici che vi permetteranno di mettere in pratica le vostre competenze nel calcolo con i radicali. Potrete esercitarvi nel semplificare radicali, eseguire operazioni con radicali e risolvere equazioni contenenti radicali.
Eseguire questi esercizi vi aiuterà a consolidare la vostra comprensione dei concetti chiave legati ai radicali, nonché ad affinare le vostre abilità di calcolo. Inoltre, affrontare una varietà di problemi vi consentirà di sviluppare la flessibilità nel manipolare e risolvere le espressioni contenenti radicali.
