La Regola di Ruffini è una tecnica di scomposizione introdotta nel XVIII secolo dal matematico Paolo Ruffini. Grazie a questa regola, è possibile effettuare la scomposizione di polinomi sotto opportune ipotesi, espresse dall’omonimo teorema di Ruffini. Il metodo di Ruffini assume un’importanza significativa poiché funziona anche in situazioni in cui le tecniche di scomposizione derivanti dai prodotti notevoli non riescono ad avere successo.
In questa lezione, presenteremo il metodo di scomposizione di Ruffini descrivendone i vari passaggi e mostrando come applicarlo negli esercizi attraverso esempi appropriati. Tuttavia, nelle lezioni successive, ci occuperemo degli aspetti teorici alla base della regola, concentrandoci sullo studio dettagliato della divisione tra polinomi e del teorema del resto. Questa lezione si focalizza sugli aspetti pratici.
Studiamo il metodo di Ruffini perché, nonostante sia spesso considerato un argomento difficile dagli studenti delle scuole superiori, rappresenta una delle tecniche più affidabili e meccaniche per scomporre i polinomi. Di solito, in Matematica, si inizia studiando definizioni, teoremi e procedure, e solo successivamente ci si domanda il perché. In questa lezione, invece, cercheremo di invertire questa tendenza.
Consideriamo un polinomio P(x) scomponibile di grado n maggiore di 2. La regola di Ruffini consente di ottenere una scomposizione di P(x) del tipo P(x) = (x – a) * Q(x) + R, dove Q(x) è un polinomio di grado 1 e R è un termine noto. La morale di tutto ciò è che se abbiamo un polinomio scomponibile di grado 2 o superiore (di solito di grado 3 o superiore) e desideriamo scomporlo, il metodo di Ruffini fornisce un approccio infallibile.
La scomposizione dei polinomi con il metodo di Ruffini
Il metodo di Ruffini è un approccio sicuro per la scomposizione dei polinomi. Tuttavia, ci sono alcune considerazioni importanti da tenere presente.
Considerazioni preliminari
Prima di procedere con la scomposizione utilizzando il metodo di Ruffini, è essenziale comprendere due avvertenze:
1) Polinomi scomponibili di grado 2
Per i polinomi scomponibili di grado 2, il metodo di Ruffini potrebbe non essere la scelta più efficiente. Esistono altre tecniche di scomposizione che sono decisamente più rapide in questi casi.
2) Individuazione di alternative a Ruffini
Se identifichiamo un metodo alternativo per la scomposizione di un polinomio scomponibile di grado maggiore o uguale a 3, sarà sempre preferibile utilizzare quest’ultimo. Sebbene Ruffini sia un metodo affidabile che funziona sempre, è generalmente più dispendioso rispetto ad altre tecniche disponibili.
Procedimento di scomposizione con Ruffini
Ora che comprendiamo l’importanza di apprendere il metodo di scomposizione di Ruffini, vediamo come procedere prendendo spunto da un esempio specifico.
Consideriamo il polinomio P(x) = x^3 + 2x – 3. Seguiamo i seguenti passaggi:
1) Ricerca di una radice per applicare la regola di Ruffini
Per applicare la regola di Ruffini, dobbiamo cercare una radice del polinomio. Utilizziamo un teorema dell’Algebra che afferma che, dato un polinomio di grado n con coefficienti interi, le possibili radici razionali r∈Q di P(x), se esistono, seguono questa forma:
r = p/q
Dove:
- Il numeratore p è un divisore (positivo o negativo) del termine noto a_0.
- Il denominatore q è un divisore (positivo o negativo) del coefficiente direttivo a_n.
In particolare, se il coefficiente a_n del termine di grado massimo è 1 o -1, le possibili radici razionali r sono divisori del termine noto.
In sintesi, questa regola teorica è conosciuta come “teorema delle radici razionali” e può essere rappresentata come:
p|a_0, q|a_n
Dove il simbolo | indica la relazione di divisibilità.
La scomposizione dei polinomi con il metodo di Ruffini è un’operazione affidabile ma può risultare più dispendiosa rispetto ad altre tecniche disponibili. È importante considerare le alternative e valutare la convenienza di utilizzare il metodo di Ruffini in base alle caratteristiche del polinomio da scomporre.
Metodo di Ruffini per la ricerca delle radici di un polinomio
Nel nostro esempio, consideriamo il polinomio P(x) = x^3+2x-3. Analizziamo i coefficienti e il termine noto per individuare le caratteristiche del polinomio.
Termine noto e coefficiente del termine di grado massimo
Il termine noto del polinomio è a0= -3, mentre il coefficiente del termine di grado massimo è a3= 1.
Ricerca di possibili radici
Per individuare eventuali radici del polinomio, consideriamo i divisori del termine noto a0= -3. Cerchiamo quindi un valore r che soddisfi l’equazione r | -3, ossia r ∈ {-1, 1, -3, 3}.
Valutazione del polinomio con i possibili valori
Per determinare quali di questi valori sono radici del polinomio , sostituiamo separatamente ciascun valore al posto dell’indeterminata x nel polinomio P(x).
Se la valutazione del polinomio è zero, abbiamo trovato una radice e possiamo fermarci. Altrimenti, passiamo al valore successivo.
Esempio di sostituzione e valutazione
Proviamo a sostituire i valori -1, 1, -3, 3 nel polinomio P(x) = x^3+2x-3.
Se x = -1, otteniamo P(-1) = (-1)^3+2(-1)-3 = -1-2-3 = -6. Poiché il valore non è una radice (la valutazione non è zero), passiamo al valore successivo.
Proseguiamo con x = 1. In questo caso, P(1) = (1)^3+2(1)-3 = 1+2-3 = 0. Poiché P(1) = 0, abbiamo trovato una radice.
È importante sottolineare che la ricerca delle radici è la parte più delicata del metodo di Ruffini. Mentre il teorema delle radici razionali ci fornisce un metodo per trovare possibili radici razionali quando i coefficienti del polinomio sono interi, dobbiamo considerare alcune situazioni:
- Il polinomio potrebbe non avere radici, come nel caso della somma di quadrati x^2+1.
- Il polinomio potrebbe avere radici, ma non radici razionali, come nel caso della differenza di quadrati x^2-2 che ammette solo le radici irrazionali ±√(2).
Pertanto, è fondamentale procedere con la ricerca, considerando che le radici potrebbero essere presenti solo se esistono e potrebbero essere razionali o irrazionali.
Applicazione del Metodo di Ruffini
Nella risoluzione di un polinomio utilizziamo il metodo di Ruffini , che prevede l’utilizzo di una tabella. Seguiamo i seguenti passaggi:
Tabella della regola di Ruffini
Prima di tutto, compiliamo una tabella seguendo la regola di Ruffini . Nella prima riga, ordinate per grado, inseriamo i coefficienti dei termini del polinomio. Nel caso in cui manchi un termine, come ad esempio il termine di grado 2, aggiungiamo uno zero. La riga si conclude con il termine noto.
Radice del polinomio
Nella seconda riga, troviamo come primo elemento la radice del polinomio che abbiamo trovato in precedenza. A questo punto, siamo pronti per applicare la regola di Ruffini completando la tabella.
Calcolo dei valori
Nella terza e ultima riga, riportiamo in prima posizione il coefficiente del termine di grado massimo. Procediamo poi con la compilazione della seconda e terza riga.
Per calcolare i valori, moltiplichiamo l’elemento della terza riga (indicato in blu) per la radice (indicata in rosso) e riportiamo il risultato (indicato in verde) nella seconda riga, nella colonna successiva.
Successivamente, nella seconda colonna, sommiamo il coefficiente della prima riga (0) con l’elemento presente nella seconda riga (indicato in verde) e riportiamo il risultato nella terza riga.
Scomposizione con Ruffini
Reiterando questo procedimento, arriviamo all’ultimo elemento a destra nella terza riga, che rappresenta il resto della scomposizione.
Metodo di scomposizione di Ruffini: Scomposizione di un polinomio
Una volta effettuati correttamente i calcoli, se il risultato è zero, otteniamo la seguente situazione:
Scomposizione del polinomio P(x)=D(x)Q(x)
Per passare dalla tabella alla scomposizione del polinomio P(x)=D(x)Q(x) , utilizziamo il teorema di Ruffini. Questo teorema afferma che un polinomio P(x) è divisibile per (x-a) se e solo se P(a) = 0, ovvero se a è una radice del polinomio.
Il teorema di Ruffini ci permette di scomporre il polinomio P(x) trovando una radice a, e rappresentarlo come prodotto tra il binomio D(x) = (x-a) e un altro polinomio Q(x) di grado (n-1), dove n è il grado del polinomio P(x).
Nel nostro esempio, il polinomio di grado 1 è (x-1), corrispondente alla radice trovata, mentre il polinomio di grado (n-1) (nel nostro caso 3-1=2) ha come coefficienti i numeri presenti nella terza riga della tabella: 1, 1, 3.
Sappiamo che il polinomio Q(x) ha grado 2, quindi la scomposizione sarà:
P(x) = D(x)Q(x) ; x^3+2x-3 = (x-1)(x^2+x+3)
Reiterazione del metodo di Ruffini
In generale, dopo aver applicato il metodo di Ruffini , otteniamo una scomposizione nella forma:
P(x) = D(x)Q(x)
Se il polinomio Q(x) ha un grado maggiore di 1, possiamo tentare una scomposizione ulteriore, applicando nuovamente il metodo di Ruffini (per polinomi di grado maggiore o uguale a 3) o altre tecniche di scomposizione conosciute.
È importante notare che ciò è possibile solo se Q(x) è scomponibile in ulteriori fattori polinomiali.
Verifica del risultato (facoltativa)
Dopo aver scritto la scomposizione finale, è possibile verificare il risultato calcolando i prodotti tra i polinomi presenti nella scomposizione. Se il risultato del prodotto coincide con il polinomio iniziale, allora lo svolgimento è corretto.
Raccomandiamo di effettuare la verifica del risultato nei primissimi esercizi che svolgerete, almeno fino a quando non avrete sufficiente dimestichezza con il metodo di Ruffini, e naturalmente nelle verifiche. 😉
Esempio di applicazione della regola di Ruffini
Consideriamo il polinomio P(x) = x^4 – 2x^3 – 8x + 16 e scomponiamolo applicando il procedimento secondo Ruffini.
Il polinomio ha coefficienti interi, quindi possiamo applicare il teorema delle radici razionali. Inoltre, poiché il coefficiente del termine di grado massimo è 1, proviamo a cercare una radice tra i divisori del termine noto a_0 = 16.
-1, 1, -2, 2, -4, 4, -8, 8, -16, 16
Sostituiamo i valori al posto di x nel polinomio e cerchiamo uno per cui risulti P(x) = 0. Ad esempio, se consideriamo x = 2:
P(2) = (2)^4 – 2 · (2)^3 – 8 · (2) + 16 = 16 – 16 – 16 + 16 = 0
Dunque P(2) = 0 e x = 2 è una radice del polinomio.
Il teorema di Ruffini ci dice già che potremo scrivere P(x) come P(x) = (x – 2)Q(x), dove il polinomio di primo grado è individuato dalla radice che abbiamo appena trovato, mentre Q(x) è un polinomio di grado 4 – 1 = 3.
Metodo di scomposizione dei polinomi: Applicazione della regola di Ruffini
Per determinare il polinomio Q(x), procediamo con l’ applicazione della regola di Ruffini . Utilizziamo la seguente tabella:
| x | 1 | 0 | 0 | -8 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | ||
| 1 | 1 | |||
| 1 |
Nell’ultima riga della tabella, otteniamo i coefficienti del secondo fattore della scomposizione, che sarà un polinomio di grado 3 (uno in meno rispetto a quello da cui siamo partiti). Quindi, possiamo esprimere Q(x) come:
Q(x) = 1·x^3 + 0·x^2 + 0·x – 8 = x^3 – 8
Successivamente, scriviamo la fattorizzazione di P(x) utilizzando Q(x):
P(x) = (x – 2)Q(x) = (x – 2)(x^3 – 8)
Se desideriamo scomporre ulteriormente il polinomio, possiamo applicare nuovamente la regola di Ruffini su Q(x) oppure utilizzare la formula per la differenza di cubi:
x^3 – 8 = (x – 2)(x^2 + 2x + 4)
Di conseguenza, otteniamo la scomposizione completa di P(x):
P(x) = (x – 2)(x – 2)(x^2 + 2x + 4)
Esempio di applicazione della regola di Ruffini con coefficiente direttivo diverso da 1
Nei precedenti esempi, abbiamo considerato polinomi con coefficiente direttivo uguale a 1. Tuttavia, in alcune circostanze, il coefficiente direttivo può essere diverso da 1. In questo caso, se il polinomio ha una radice razionale, deve essere un divisore del termine noto. Vediamo un esempio di applicazione della regola di Ruffini in cui il coefficiente direttivo è diverso da 1.
Calcolo delle radici razionali di un polinomio
Nel seguente paragrafo analizzeremo un polinomio a coefficienti interi al fine di determinare le sue eventuali radici razionali. Consideriamo il polinomio:
P(x) = 4×3- 8×2- 11x – 3
Il termine noto di questo polinomio èa0= -3, mentre il coefficiente del termine di grado massimo èa3= 4. Cerchiamo quindi radici razionali del tipor = (p)/(q), dovepè un divisore dia0eqè un divisore dia3.
Calcolo dei divisori
Calcoliamo i divisori dei due coefficienti:
- Il numeratore p rientra tra i divisori di a0 = -3: p ∈ {-1, 1, -3, 3}.
- Il denominatore q rientra tra i divisori di a3 = 4: q ∈ {-1, 1, -2, 2, -4, 4}.
Insieme delle possibili radici razionali
Determiniamo l’ insieme delle possibili radici razionali , ovvero l’insieme delle frazioni che hanno come numeratore un divisore del termine notoa0= -3e come denominatore un divisore del coefficiente direttivoa3= 4(p/q). Otteniamo i seguenti insiemi di radici:
(p)/(q), p = -1 → {-1/-1, -1/1, -1/-2, -1/2, -1/-4, -1/4}
(p)/(q), p = 1 → {1/-1, 1/1, 1/-2, 1/2, 1/-4, 1/4}
(p)/(q), p = -3 → {-3/-1, -3/1, -3/-2, -3/2, -3/-4, -3/4}
(p)/(q), p = 3 → {3/-1, 3/1, 3/-2, 3/2, 3/-4, 3/4}
Uniamo gli insiemi precedenti, considerando che gli elementi all’interno di un insieme non possono essere ripetuti:
(p)/(q) ∈ {-1, 1, -1/2, 1/2, -1/4, 1/4, -3, 3, -3/2 , 3/2, -3/4, 3/4}
Sostituzione e ricerca delle radici
Sostituiamo ciascun valore dell’insieme delle possibili radici nel polinomio al posto dell’indeterminataxe fermiamoci non appena troviamo una radice che verifica l’equazioneP(x) = 0.
Continua a cercare le radici nel polinomio finché non viene trovata una radice che soddisfi l’equazione.
Risoluzione di un polinomio mediante il teorema di Ruffini
Consideriamo il polinomio P(x) = 4x^3 – 8x^2 – 11x – 3 e cerchiamo una sua radice. Supponiamo che x = -(1/2) sia una radice del polinomio.
Applicando il teorema di Ruffini , possiamo scrivere P(x) come (x + 1/2)Q(x), dove Q(x) è un polinomio di grado 2.
Determinazione di Q(x)
Per determinare il polinomio Q(x), possiamo utilizzare il metodo di Ruffini completando la tabella di Ruffini:
| 4 | -8 | -11 | -3 | |
|---|---|---|---|---|
| -(1/2) | -2 | 11/2 | -3 | |
| 4 | -10 | -6 | 0 |
I coefficienti dell’ultima riga della tabella rappresentano i coefficienti del polinomio Q(x), quindi possiamo scrivere Q(x) = 4x^2 – 10x – 6.
Scomposizione di P(x)
Ora possiamo scrivere la scomposizione di P(x) come (x + 1/2)Q(x) = (x + 1/2)(4x^2 – 10x – 6).
Se vogliamo scomporre ulteriormente il polinomio, possiamo utilizzare il metodo di Ruffini su Q(x) o sfruttare la tecnica di scomposizione per i trinomi notevoli. Applicando quest’ultima, otteniamo:
4x^2 – 10x – 6 = 2(x – 3)(2x + 1).
Quindi la scomposizione completa di P(x) è:
P(x) = (x + 1/2) * 2(x – 3)(2x + 1) = (2x + 1)(x – 3)(2x + 1).
Ecco a voi la scomposizione completa del polinomio!
