La retta passante per due punti nel piano cartesiano può essere determinata utilizzando l’equazione:
(x – x1) / (x2 – x1) = (y – y1) / (y2 – y1)
Questa formula è applicabile quando i punti considerati non sono allineati né orizzontalmente, né verticalmente. Essa permette di calcolare l’equazione della retta conoscendo le coordinate cartesiane di due punti appartenenti ad essa.
È importante ricordare questa equazione in quanto è ampiamente utilizzata negli esercizi di Geometria Analitica.
Per ottenere una comprensione completa, forniremo alcuni esempi svolti e dimostreremo la formula. Inoltre, presenteremo altre due formule che possono essere utili quando si conoscono due punti appartenenti alla retta: quella per il coefficiente angolare e quella per l’ordinata all’origine.
Equazione della retta passante per due punti
Per determinare l’equazione della retta passante per due punti nel piano cartesiano, seguiamo i seguenti passaggi:
- Dati due punti nel piano, A = (x1, y1) e B = (x2, y2), utilizziamo l’equazione:
- Attraverso la semplificazione dell’equazione, otteniamo l’equazione finale della retta.
Questa procedura ci permette di scrivere l’equazione della retta passante per due punti distinti nel piano cartesiano. Ricordiamo che esiste una sola retta che passa attraverso i due punti dati.
Calcolo dell’equazione della retta passante per due punti
Per determinare l’equazione della retta passante per due punti di cui si conoscono le coordinate, possiamo utilizzare una formula specifica. Tuttavia, è importante considerare diverse situazioni a seconda dell’allineamento dei punti.
Retta passante per due punti non allineati verticalmente né orizzontalmente
Se i punti non sono né allineati verticalmente né orizzontalmente (ovvero quandox1≠ x2ey1≠ y2), possiamo applicare la formula seguente per determinare l’equazione della retta:
y – y1= m(x – x1)
Dovemrappresenta il coefficiente angolare della retta.
Retta passante per due punti allineati verticalmente
Se i punti sono allineati verticalmente (ovvero quandox1= x2ey1≠ y2), l’equazione della retta passante per i due punti è data da:
x = x1
Retta passante per due punti allineati orizzontalmente
Se i punti sono allineati orizzontalmente (ovvero quandoy1= y2ex1≠ x2), l’equazione della retta passante per i due punti è data da:
y = y1
Osservazione (i due punti devono essere distinti)
È importante notare che se i due punti coincidono (ovverox1= x2ey1= y2), non è possibile determinare un’unica retta passante per il punto dato. In questo caso, i punti sarebbero coincidenti e non esisterebbe una sola retta che li attraversa. Per individuare univocamente una retta passante per un punto, è necessario conoscere anche il coefficiente angolare, come spiegato nel formulario sulla retta passante per un punto.
Esempi sulla retta passante per due punti
Di seguito, vediamo alcuni esempi significativi sul calcolo dell’equazione della retta passante per due punti assegnati.
Esempio 1:Determinare l’equazione della retta passante per i due punti P1= (2, -3) e P< sub>2= (2, 4).
Equazioni delle rette
Equazione della retta per due punti allineati verticalmente
Quando i punti dati sono allineati verticalmente , come nel caso dei punti P1= (3,-1) e P2= (0,-1), possiamo dedurre che l’equazione della retta che li intercetta è di forma x = 2.
Equazione della retta per due punti allineati orizzontalmente
Quando i punti dati sono allineati orizzontalmente , come nel caso dei punti P1= (2,-3) e P2= (3,-1), l’equazione della retta che li passa è di forma y = -1.
Equazione della retta per due punti non allineati
Quando i punti dati non sono allineati, come nel caso dei punti P1= (2,-3) e P2= (3,-1), possiamo utilizzare la formula generale dell’ equazione della retta . Applichiamo la formula:
(x – x1) / (x2- x1) = (y – y1) / (y2- y1)
Risolvendo l’equazione otteniamo:
(x – 2) / (3 – 2) = (y – (-3)) / (-1 – (-3))
Semplificando, otteniamo:
x – 2 = (y + 3) / 2
A questo punto, possiamo ricavare la forma esplicita della retta effettuando passaggi algebrici, ottenendo l’equazione y = 2x – 7.
Dimostrazione della formula per la retta passante per due punti
È importante comprendere la logica che sta dietro la formula per determinare l’equazione della retta passante per due punti. Consideriamo due punti con coordinate P1= (x1, y1) e P2= (x2, y2). Imponendo la condizione di passaggio dell’equazione della retta, espressa nella forma esplicita y = mx + q, otteniamo il seguente sistema lineare:
y1= m * x1+ q
y2= m * x2+ q
Calcolo dell’Equazione della Rettta per Due Punti
Per calcolare l’equazione della retta passante per due punti , utilizzeremo il metodo del confronto. Supponiamo di avere i punti P1(x1, y1) e P2(x2, y2).
Passo 1: Confronto delle Equazioni
Applichiamo il metodo del confronto utilizzando le seguenti equazioni:
q = y1- mx1;
q = y2- mx2.
Effettuiamo il confronto sulla seconda equazione:
q = y1- mx1;
y1- mx1= y2- mx2.
Passo 2: Risoluzione dell’Equazione per il Coefficiente Angolare
Risolviamo la seconda equazione per il coefficiente angolare m:
q = y1- mx1;
m = (y1- y2) / (x1- x2).
Passo 3: Sostituzione nella Prima Equazione
Sostituiamo l’espressione del coefficiente angolare m nella prima equazione , ottenendo:
q = y1- [(y1- y2) / (x1- x2)]x1;
m = (y1- y2) / (x1- x2).
Passo 4: Equazione della Rettta
Se sostituiamo le espressioni dell’ordinata all’origine q e del coefficiente angolare m nell’ equazione della retta in forma esplicita y = mx + q, otteniamo:
y = [(y1- y2) / (x1- x2)]x + y1- [(y1- y2) / (x1- x2)]x1.
Portando a sinistra l’addendo y1ed effettuando un raccoglimento totale a destra, otteniamo:
y – y1= [(y1- y2) / (x1- x2)](x – x1)
Questa è la formula generale per l’ equazione della retta passante per due punti.
Nota Importante:
Com’era lecito aspettarsi, l’ordinamento dei punti non è importante, ma è fondamentale che ci sia coerenza nell’ordinamento tra il membro di sinistra e il membro di destra dell’equazione.
La dimostrazione della formula per l’equazione della retta passante per due punti ci ha permesso di ricavare due ulteriori formule per il coefficiente angolare e per l’ordinata all’origine quando sono noti due punti di passaggio.
