Il seno e il coseno sono due funzioni trigonometriche fondamentali indicate rispettivamente con sin(α) e cos(α). Queste funzioni sono definite a partire dalla circonferenza goniometrica e associano a ciascun angolo un valore numerico compreso tra -1 e +1. La Trigonometria si occupa principalmente dello studio delle funzioni goniometriche, che sono particolari funzioni costruite a partire dalla circonferenza goniometrica.
Nel corso di questa lezione, spiegheremo dettagliatamente cosa rappresentano il seno e il coseno di un angolo, fornendo le relative definizioni. Presteremo particolare attenzione agli aspetti grafici e geometrici delle definizioni, offrendo diversi esempi e mettendo in luce le principali proprietà di queste funzioni. Durante il corso della lezione, forniremo anche riferimenti ad approfondimenti utili per un ripasso veloce dell’argomento.
Per comprendere meglio la rappresentazione e la definizione di seno e coseno, iniziamo considerando un angolo α sulla circonferenza goniometrica. Disponiamo l’angolo in modo che il suo vertice coincida con il centro della circonferenza e il suo primo lato si sovrapponga al semiasse positivo delle x. È indifferente se esprimiamo l’angolo in gradi o in radianti.
Chiamiamo P il punto in cui il secondo lato dell’angolo interseca la circonferenza goniometrica; tale punto è detto “punto associato” all’angolo α. Siano xP ed yP rispettivamente l’ascissa e l’ordinata del punto P.
Definizione di seno di un angolo
Il seno di un angolo α sulla circonferenza goniometrica rappresenta l’ordinata del punto P associato ad α.
In modo del tutto analogo, possiamo definire il seno di un angolo α come segue:
Sia P il punto associato ad un angolo α sulla circonferenza goniometrica, e sia Q la proiezione del punto P sull’asse y. Si forma così un triangolo rettangolo OPQ, la cui ipotenusa OP misura 1, essendo un raggio della circonferenza goniometrica.
Il seno dell’angolo α è definito come il rapporto tra il cateto OQ e l’ipotenusa OP del triangolo. In formule:
sin(α) = OQ / OP
Nota bene: con la notazione OQ si indica la misura con segno del segmento OQ. La misura sarà positiva se tale segmento si trova sul semiasse positivo delle ordinate e negativa se si trova sul semiasse negativo delle y.
Definizione di coseno di un angolo
Il coseno di un angolo α sulla circonferenza goniometrica rappresenta l’ascissa del punto P associato ad α.
Possiamo definire il coseno di un angolo α come il rapporto tra il cateto OR e l’ipotenusa OP del triangolo rettangolo OPR, dove R è la proiezione del punto P sull’asse delle ascisse.
poiché OP è il raggio della circonferenza goniometrica.
Anche in questo caso, con la notazione OR si intende la misura con segno del cateto OR. La misura sarà positiva se tale segmento giace sul semiasse positivo e negativa se si trova sul semiasse negativo delle ascisse.
Esempi di Applicazione di Seno e Coseno
Esamineremo alcuni esempi di applicazione delle definizioni di seno e coseno, approfittando anche di questa occasione per determinare i valori di seno e coseno per angoli particolari, noti come angoli notevoli.
Definizioni di Seno e Coseno
Dalle definizioni fornite in precedenza possiamo dedurre facilmente che, considerando un angolo sulla circonferenza goniometrica:
- Il seno dell’angolo è rappresentato dall’ordinata del punto associato all’angolo o, in altre parole, è la misura con segno della proiezione sul lato y del secondo lato dell’angolo.
- Il coseno dell’angolo è rappresentato dall’ascissa del punto associato all’angolo o, in altre parole, è la misura con segno della proiezione sul lato x del secondo lato dell’angolo.
Calcolo di Seno e Coseno per Angoli Notevoli
Grazie alle definizioni sopra fornite, possiamo facilmente calcolare i valori di seno e coseno per alcuni angoli notevoli:
Angolo α = 0
Se α = 0 , il punto P si trova nelle coordinate (1,0). Pertanto, l’ascissa di P è 1 e l’ordinata è 0.
Angolo α = π/2
Se α = π/2 , il punto P si trova nelle coordinate (0,1). Pertanto, l’ascissa di P è 0 e l’ordinata è 1.
Angolo α = π
Se α = π , il punto P si trova nelle coordinate (-1,0). Pertanto, l’ascissa di P è -1 e l’ordinata è 0.
Angolo α = 3π/2
Se α = 3π/2 , il punto P si trova nelle coordinate (0,-1). Pertanto, l’ascissa di P è 0 e l’ordinata è -1.
Infine, è importante notare che per α = 2π, i valori di seno e coseno sono esattamente gli stessi di quelli corrispondenti a α = 0.
Valori di seno e coseno per angoli particolarmente importanti
Ora ci concentreremo sugli angoli particolarmente importanti per lo studio dei valori di seno e coseno. Questi angoli compaiono frequentemente negli esercizi, quindi è fondamentale impararli fin da subito.
Angolo α = 30°
Consideriamo un triangolo rettangolo nella circonferenza goniometrica con un angolo α di 30°. Ricordando che l’ipotenusa di tale triangolo vale 1, possiamo utilizzare le formule per i triangoli rettangoli con angoli notevoli (30°-60° e 45°-45°) per ottenere i valori di seno e coseno.
Per l’ angolo α = 30° , la proiezione sull’asse x misura (√3)/2, mentre quella sull’asse y misura 1/2.
Angolo α = 45°
In questo caso, l’ angolo α di 45° corrisponde a un triangolo rettangolo che è anche un triangolo isoscele. I cateti di tale triangolo misurano 1/√2, ma solitamente si preferisce utilizzare il valore razionalizzato (√2)/2. È importante notare che per un angolo di 45°, seno e coseno coincidono.
Angolo α = 60°
Per l’ angolo α di 60°, la situazione è opposta rispetto a α = 30°. I valori di seno e coseno sono esattamente invertiti rispetto a quelli dell’angolo α = 30°. Questi valori possono essere consultati in una tabella apposita.
È importante sottolineare che i valori ricavati per questi tre angoli (30°, 45° e 60°) sono fondamentali da ricordare. Tuttavia, nelle lezioni di Trigonometria, verranno presentate diverse formule per calcolare rapidamente i valori di seno e coseno per gli angoli presenti negli altri quadranti.
Rappresentazione analitica delle funzioni seno e coseno
In generale, è possibile tracciare un grafico per rappresentare analiticamente le funzioni seno e coseno
Abbiamo appena fornito una panoramica sui valori di seno e coseno per alcuni angoli importanti. Continua a studiare la Trigonometria per approfondire le formule e le proprietà di queste funzioni.
Informazioni sulle funzioni seno e coseno
Le funzioni seno e coseno sono importanti concetti nell’ambito della trigonometria e dell’analisi matematica. In questa sezione, forniremo una panoramica dei principali aspetti delle funzioni seno e coseno.
Periodicità delle funzioni seno e coseno
Consideriamo angoli compresi nell’intervallo [0, 2π]. Osserviamo che se sommiamo o sottraiamo un multiplo di 2π a un angolo α compreso tra 0 e 2π, otteniamo un valore numerico diverso ma un angolo che coincide “fisicamente” con α sulla circonferenza goniometrica. Da ciò deduciamo che le funzioni seno e coseno sono periodiche con un periodo di 2π, dove k∈Z rappresenta un qualsiasi intero relativo.
Intervallo di valori delle funzioni seno e coseno
Le funzioni seno e coseno assumono valori compresi tra -1 e 1. In altre parole, l’immagine delle funzioni seno e coseno è l’intervallo [-1, 1] dei numeri reali.
Lezioni specifiche sulle funzioni seno e coseno
Se desiderate approfondire ulteriormente le proprietà analitiche delle funzioni seno e coseno , vi invitiamo a consultare due lezioni specifiche che riassumono in dettaglio tali proprietà. Queste lezioni sono disponibili su YM e coprono tutti gli aspetti rilevanti delle funzioni seno e coseno.
