Il trapezio è un quadrilatero convesso molto importante che si incontra fin dalla scuola media e continua ad essere presente nelle scuole superiori. Questa figura geometrica è caratterizzata da due lati paralleli, chiamati basi, e due lati obliqui. Oltre alla definizione di trapezio, esistono due tipologie di trapezi che sono il trapezio rettangolo e il trapezio isoscele.
Il trapezio rettangolo è un trapezio in cui uno dei lati obliqui è perpendicolare alle basi. Questa proprietà conferisce al trapezio rettangolo caratteristiche uniche che verranno analizzate successivamente.
Il trapezio isoscele, invece, è un trapezio in cui i lati obliqui sono congruenti e gli angoli adiacenti alle basi sono rispettivamente congruenti. Questa classificazione del trapezio isoscele è essenziale per comprendere le sue proprietà e le formule associate ad esso.
Per affrontare in modo completo la materia, è fondamentale conoscere le definizioni di trapezio, trapezio rettangolo e trapezio isoscele, comprese le loro proprietà e le principali formule associate. Inoltre, saranno presentate anche le formule inverse per calcolare l’area e il perimetro di un trapezio.
È importante sottolineare che il trapezio è un quadrilatero estremamente rilevante nella vostra carriera scolastica e richiederà pazienza e concentrazione per comprenderne appieno le caratteristiche. Questo formulario fornirà tutte le informazioni necessarie e vi accompagnerà in questa avventura geometrica.
Nel prossimo modulo, ci concentreremo sullo studio dettagliato del trapezio scaleno, completando così la nostra classificazione dell’insieme dei trapezi.
Per ora, iniziamo con la definizione di trapezio: un trapezio è un quadrilatero convesso con due lati paralleli, chiamati basi, mentre gli altri due lati sono chiamati lati obliqui. In modo equivalente, un trapezio può essere descritto come un poligono convesso con quattro lati, di cui due sono paralleli tra loro.
Il Trapezio: Definizioni e Formule
Definizioni dei Tipi di Trapezio
Ricordiamo che con l’aggettivoconvessosi intende che un trapezio “non contiene alcun prolungamento dei suoi lati” e che i lati non si intrecciano tra loro.
Untrapezio rettangoloè un trapezio in cui un lato obliquo è perpendicolare alle basi. Possiamo anche definirlo come un trapezio in cui gli angoli adiacenti a un lato obliquo misurano 90°.
Untrapezio isosceleè un trapezio in cui i lati obliqui sono congruenti e in cui gli angoli adiacenti alle basi sono rispettivamente congruenti. È importante non sottovalutare l’ipotesi sugli angoli adiacenti alle basi.
Formule del Trapezio
Ora occupiamoci delle formule del trapezio . Partendo dal caso generale, passiamo successivamente alle formule del trapezio rettangolo e alle formule del trapezio isoscele, che sono casi specifici in cui le formule generali per l’area e il perimetro continuano ovviamente a valere.
Riguardo ai nomi, chiamiamoBla base maggiore,bla base minore,hl’altezza,L1edL2i lati obliqui,2pil perimetro eAl’area del trapezio .
Indichiamo inoltre conLla comune lunghezza dei lati obliqui nel trapezio isoscele, nonché la lunghezza del lato obliquo non perpendicolare del trapezio rettangolo, e infinedeDrispettivamente la diagonale minore e la diagonale maggiore del trapezio rettangolo.
Nella tabella sottostante evidenziamo in grassetto le formule più importanti. Tutte le altre formule sono inverse e possono essere ricavate con passaggi algebrici immediati.
Perimetro del trapezio
Il perimetro di un trapezio si calcola sommando le misure di tutti i suoi lati:
Base maggiore (dato il perimetro)
La base maggiore di un trapezio, conoscendo il perimetro totale (2p), può essere calcolata utilizzando la seguente formula:
B = 2p – b – L1- L2
Base minore (dato il perimetro)
La base minore di un trapezio, dato il perimetro totale (2p), può essere calcolata utilizzando la seguente formula:
b = 2p – B – L1- L2
Lato obliquo 1 (dato il perimetro)
Uno dei lati obliqui di un trapezio, conoscendo il perimetro totale (2p), può essere calcolato utilizzando la seguente formula:
L1= 2p – b – B – L2
Lato obliquo 2 (dato il perimetro)
L’altro lato obliquo di un trapezio, dato il perimetro totale (2p), può essere calcolato utilizzando la seguente formula:
L2= 2p – b – B – L1
Area del trapezio
L’area di un trapezio può essere calcolata utilizzando la formula:
A = ((b + B) × h) / 2
Base maggiore (data l’area)
La base maggiore di un trapezio, conoscendo l’area (A) e l’altezza (h), può essere calcolata utilizzando la seguente formula:
B = (2A) / h – b
Base minore (data l’area)
La base minore di un trapezio, conoscendo l’area (A) e l’altezza (h), può essere calcolata utilizzando la seguente formula:
b = (2A) / h – B
Somma delle basi (data l’area)
La somma delle basi di un trapezio, conoscendo l’area (A) e l’altezza (h), può essere calcolata utilizzando la seguente formula:
B + b = (2A) / h
Altezza (data l’area)
L’altezza di un trapezio, conoscendo l’area (A) e la somma delle basi (B + b), può essere calcolata utilizzando la seguente formula:
h = (2A) / (B + b)
Lato obliquo (con altezza e basi, teorema di Pitagora)
La lunghezza di un lato obliquo di un trapezio, conoscendo l’altezza (h) e le basi (B e b), può essere calcolata utilizzando il teorema di Pitagora:
L = √(h2+ (B – b)2)
Altezza (con lato obliquo e basi)
L’altezza di un trapezio, conoscendo un lato obliquo (L) e le basi (B e b), può essere calcolata utilizzando la seguente formula:
h = √(L2- (B – b)2)
Proiezione del lato obliquo (con lato obliquo e altezza)
La proiezione del lato obliquo di un trapezio, conoscendo un lato obliquo (L) e l’altezza (h), può essere calcolata utilizzando la seguente formula:
B – b = √(L2- h2)
Diagonale maggiore (con base maggiore e altezza)
La diagonale maggiore di un trapezio, conoscendo la base maggiore (B) e l’altezza (h), può essere calcolata utilizzando la seguente formula:
D = √(h2+ B2)
Altezza (con diagonale maggiore e base maggiore)
L’altezza di un trapezio, conoscendo la diagonale maggiore (D) e la base maggiore (B), può essere calcolata utilizzando la seguente formula:
h = √(D2- B2)
Base maggiore (con diagonale maggiore e altezza)
La base maggiore di un trapezio, conoscendo la diagonale maggiore (D) e l’altezza (h), può essere calcolata utilizzando la seguente formula:
B = √(D2- h2)
Diagonale minore (con base minore e altezza)
La diagonale minore di un trapezio, conoscendo la base minore (b) e l’altezza (h), può essere calcolata utilizzando la seguente formula:
d = √(b2+ h2)
Altezza (con diagonale minore e base minore)
L’altezza di un trapezio, conoscendo la diagonale minore (d) e la base minore (b), può essere calcolata utilizzando la seguente formula:
h = √(d2- b2)
Base minore (con diagonale minore e altezza)
La base minore di un trapezio, conoscendo la diagonale minore (d) e l’altezza (h), può essere calcolata utilizzando la seguente formula:
b = √(d2- h2)
Perimetro del trapezio isoscele
Il perimetro di un trapezio isoscele si calcola sommando la base maggiore (B), la base minore (b) e il doppio di un lato obliquo (L):
2p = B + b + 2L
Lato obliquo (teorema di Pitagora)
La lunghezza di un lato obliquo di un trapezio isoscele, conoscendo l’altezza (h) e la differenza tra le basi (B – b), può essere calcolata utilizzando il teorema di Pitagora:
L = √(h2+ ((B – b) / 2)2)
Altezza (idem)
L’altezza di un trapezio isoscele, conoscendo un lato obliquo (L) e la differenza tra le basi (B – b), può essere calcolata utilizzando la seguente formula:
h = √(L2- ((B – b) / 2)2)
Proiezione del lato obliquo (idem)
La proiezione del lato obliquo di un trapezio isoscele, conoscendo un lato obliquo (L) e l’altezza (h), può essere calcolata utilizzando la seguente formula:
(B – b) / 2 = √(L2- h2)
Proprietà del trapezio
- In un trapezio, vi sono due lati opposti paralleli.
- Gli angoli adiacenti ai lati obliqui sono angoli supplementari.
In particolare, un quadrilatero è un trapezio se e solo se due dei suoi angoli interni adiacenti a un lato sono supplementari.
Proprietà del Trapezio
Il trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli chiamati basi e due lati obliqui chiamati bracci. Possiede diverse proprietà che possono essere descritte come segue:
Proprietà Generale
Questa proprietà caratterizza qualsiasi trapezio e deriva dal teorema sulle rette parallele tagliate da una trasversale. I due angoli adiacenti a un lato obliquo sono angoli coniugati interni rispetto alle basi parallele tagliate dalla trasversale.
Proprietà degli Angoli
La somma degli angoli interni di un trapezio è uguale a un angolo giro.
Proprietà delle Diagonali
Le diagonali di un trapezio si intersecano in segmenti corrispondenti proporzionali. Indichiamo le diagonali come AC e BD e il loro punto di intersezione come M.
Proprietà del Trapezio Rettangolo
In un trapezio rettangolo , uno dei lati obliqui è perpendicolare alle basi e forma con esse angoli di 90°.
Proprietà del Trapezio Isoscele
In un trapezio isoscele , i lati obliqui sono congruenti per definizione.
Gli angoli adiacenti a una stessa base sono congruenti per definizione.
Le diagonali sono congruenti.
Un trapezio isoscele è simmetrico rispetto alla retta che passa per i punti medi delle due basi.
Il lato obliquo di un trapezio isoscele circoscritto a una semicirconferenza è congruente alla metà della base maggiore.
Il lato obliquo di un trapezio isoscele circoscritto a una circonferenza è congruente alla semisomma delle basi.
Circonferenza inscritta in un trapezio isoscele
Nel caso in cui si consideri una circonferenza inscritta in un trapezio isoscele , si possono utilizzare le seguenti formule:
Classificazione dei trapezi
Esistono diverse possibili classificazioni dei trapezi relative ai lati e agli angoli:
Lati del trapezio
In riferimento ai lati, possiamo distinguere tra:
- Trapezio isoscele: i due lati obliqui sono congruenti e gli angoli adiacenti alle rispettive basi sono congruenti.
- Trapezio scaleno: i due lati obliqui hanno lunghezze diverse tra loro.
Angoli del trapezio
In riferimento agli angoli, consideriamo solamente il caso notevole del trapezio rettangolo, in cui sono presenti due angoli retti formati da un lato obliquo perpendicolare alle basi.
È importante notare che le due classificazioni in base ai lati e agli angoli sono indipendenti l’una dall’altra. Ad esempio, è possibile avere un trapezio scaleno rettangolo o un trapezio isoscele rettangolo.
A seconda delle possibili configurazioni geometriche nella famiglia dei trapezi, vengono definiti particolari quadrilateri che ben conosciamo. Prima però conviene disegnare un bel diagramma di Venn per l’insieme dei trapezi nell’insieme dei quadrilateri convessi.
Ora, partendo dalle definizioni, è facile capire quali sono i particolari tipi di trapezi che già conosciamo. Scendiamo dal generale al particolare:
- Un parallelogramma è un trapezio con i lati a due a due paralleli (e quindi a due a due congruenti).
Classificazione dei Trapezi e Parallelogrammi
Un trapezio è un quadrilatero con almeno un paio di lati paralleli. Un parallelogramma è un quadrilatero con i lati opposti paralleli. Ora analizzeremo le caratteristiche di alcuni tipi specifici di trapezi e parallelogrammi .
Parallelogrammi
In generale, un parallelogramma non è un trapezio isoscele, a meno che non sia anche un rettangolo. Infatti, il rettangolo è l’unico caso in cui gli angoli adiacenti alle rispettive basi sono congruenti, il che rende importante questa condizione nella definizione del trapezio isoscele.
Un rombo è un parallelogramma con i quattro lati uguali. Pertanto, è anche un trapezio con i lati a due a due paralleli e tutti congruenti tra loro. Tuttavia, in generale, un rombo non è un trapezio isoscele, a meno che non sia anche un quadrato. Nel caso del quadrato, gli angoli adiacenti alle rispettive basi sono congruenti.
Rettangoli
Un rettangolo è un parallelogramma con angoli interni di 90°. Pertanto, è anche un trapezio con i lati a due a due paralleli e angoli interni di 90°. Osserviamo che il rettangolo è sia un trapezio rettangolo (poiché ha un lato obliquo perpendicolare alle basi) che un trapezio isoscele (poiché ha lati obliqui congruenti con angoli adiacenti alle rispettive basi congruenti). In effetti, il rettangolo è l’unico caso di trapezio isoscele rettangolo.
Quadrati
Un quadrato è un rombo con gli angoli interni congruenti (tutti pari a 90°) ed è anche un rettangolo con i quattro lati congruenti. Quindi, il quadrato è un trapezio isoscele rettangolo in quanto è un rettangolo con i quattro lati congruenti poiché è anche un rombo.
Nota:È importante notare che, come evidenziato dal diagramma di Venn precedente, ci sono trapezi che non sono parallelogrammi.
Trapezi: Caratteristiche e Approfondimenti
La lezione precedente ha fornito una panoramica sui trapezi, concentrandosi principalmente sui trapezi notevoli come quelli rettangoli o isosceli. Tuttavia, esistono molte altre varianti di trapezi che possono essere analizzate in dettaglio. Di seguito, troverete ulteriori informazioni sulle diverse caratteristiche dei trapezi:
Trapezi Rettangoli
I trapezi rettangoli presentano un angolo retto all’interno della loro struttura. Per calcolare il perimetro di un trapezio rettangolo, si sommano le lunghezze di tutti i lati. Per determinare l’area, è necessario moltiplicare la somma delle basi per l’altezza e successivamente dividere per due.
Trapezi Isosceli
I trapezi isosceli hanno due lati obliqui di lunghezza uguale e due angoli adiacenti congruenti. Per calcolare il perimetro di un trapezio isoscele, si sommano le lunghezze di tutti i lati. L’area di un trapezio isoscele può essere ottenuta moltiplicando la somma delle basi per l’altezza e successivamente dividendo per due.
Trapezi Scaleni
I trapezi scaleni sono caratterizzati da quattro lati di lunghezze diverse. Per calcolare il perimetro di un trapezio scaleno, è necessario sommare le lunghezze di tutti i lati. Per determinare l’area, bisogna utilizzare la formula dell’area del trapezio, che consiste nella somma delle basi moltiplicata per l’altezza e successivamente divisa per due.
Esercizi e Approfondimenti
Se desiderate approfondire ulteriormente l’argomento dei trapezi, potete consultare i numerosi esercizi disponibili su YM. Lo Staff ha risolto migliaia di esercizi, pertanto potrete trovare tutto ciò di cui avete bisogno utilizzando la barra di ricerca interna. Alcuni degli aspetti che vengono approfonditi includono:
Perimetro del Trapezio Isoscele
Questo approfondimento spiega come calcolare il perimetro di un trapezio isoscele , fornendo formule e esempi pratici.
Area del Trapezio Isoscele
In questa sezione, viene illustrato il metodo per calcolare l’area di un trapezio isoscele , con esempi chiari e dettagliati.
Diagonale del Trapezio Isoscele
Viene spiegato come determinare la lunghezza della diagonale di un trapezio isoscele utilizzando le proprietà geometriche del trapezio.
Perimetro del Trapezio Rettangolo
Qui si illustra il processo di calcolo del perimetro di un trapezio rettangolo , con spiegazioni passo-passo e esempi applicativi.
Area del Trapezio Rettangolo
Questo approfondimento fornisce le istruzioni per determinare l’area di un trapezio rettangolo , illustrando la procedura da seguire.
Perimetro del Trapezio Scaleno
Vengono presentati i passaggi per calcolare il perimetro di un trapezio scaleno , con esempi dettagliati per facilitare la comprensione.
Area del Trapezio Scaleno
In questa sezione, viene spiegato il metodo per calcolare l’area di un trapezio scaleno , con chiarezza e esempi esplicativi.
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